Решение систем уравнений. Видеоурок «Решение систем уравнений методом подстановки Решение системы с помощью подстановки

2. Метод алгебраического сложения.
3. Метод введения нового переменного (метод замены переменной).

Определение: Системой уравнений называются несколько уравнений от одной или нескольких переменных, которые должны выполняться одновременно, т.е. при одинаковых значениях переменных для всех уравнений. Уравнения в системе объединяются знаком системы – фигурной скобкой.
Пример 1:

— система двух уравнений с двумя переменными x и y .
Решением системы являются корни . При подстановке этих значений уравнения превращаются в верные тождества:

Решение систем линейных уравнений.

Самым распространенным методом решения системы является метод подстановки.

Метод подстановки.

Метод подстановки для решения систем уравнений заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить какую-либо переменную через другие, и подставить это выражение в остальные уравнения системы вместо выраженной переменной.
Пример 2:
Решить систему уравнений:

Решение:
Дана система уравнений и ее требуется решить методом подстановки.
Выразим переменную y из второго уравнения системы.
Замечание: «Выразить переменную» означает преобразовать равенство так, чтобы эта переменная осталась слева от знака равенства с коэффициентом 1, а все остальные слагаемые перешли в правую часть равенства.
Второе уравнение системы:

Оставим слева только y :

И подставим (вот оттуда то и идет название метода) в первое уравнение вместо у выражение, которому оно равно, т.е. .
Первое уравнение:

Подставим :

Решим это банальное квадратное уравнение. Для тех, кто забыл, как это делается, есть статья Решение квадратных уравнений. .

Итак, значения переменной x найдены.
Подставим эти значения в выражение для переменной y . Здесь получилось два значения x , т.е. для каждого из них следует находить значение y .
1) Пусть
Подставляем в выражение .

2) Пусть
Подставляем в выражение .

Все можно составлять ответ:
Замечание: Ответ в этом случае следует записывать попарно, чтоб не перепутать, какое значение переменной y соответствует какому значению переменной x.
Ответ:
Замечание: В примере 1 как решение системы указана только одна пара, т.е. эта пара является решением системы, но не полным. Потому, как решить уравнение или систему значит указать решение и показать, что других решений нет. А тут еще одна пара.

Оформим решение этой системы по-школьному:

Замечание: Знак «» значит «равносильно», т.е. следующая система или выражение равносильно предыдущей.

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Место урока в системе уроков: третий урок изучения темы “Системы двух линейных уравнений с двумя переменными”

Тип урока: изучения новых знаний

Образовательная технология: развитие критического мышления через чтение и письмо

Метод обучения: исследование

Цели урока: освоить еще один способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - способом сложения

Задачи:

предметные : формирование практических навыков в решении систем линейных уравнений способом подстановки;
метапредметные : развивать мышление, сознательное восприятие учебного материала;
личностные : воспитание познавательной активности, культуры общения и привитие интереса к предмету.

В результате ученик:

Знает определение системы линейных уравнений с двумя переменными;
Знает, что значит решить систему линейных уравнений с двумя переменными;
Умеет записывать систему линейных уравнений с двумя переменными;
Понимает, сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными;
Умеет определять, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько;
Знает алгоритм решения систем линейных уравнений способом подстановки, алгебраического сложения, графическим способом.

Проблемный вопрос: “Как решить систему линейных уравнений с двумя переменными?”

Ключевые вопросы: Как и зачем мы используем уравнения в жизни?

Оборудование: презентация; мультимедийный проектор; экран; компьютер, рабочая тетрадь по алгебре: 7 класс: к учебнику А.Г. Мордковича и др. “Алгебра – 7” 2012 г.

Ресурсы (откуда берется информация по теме: книги, учебники, Интернет и т.д.): учебник “Алгебра – 7” 2012г., А.Г. Мордкович

Формы организации учебной деятельности учащихся (групповая, парно-групповая, фронтальная и т.д.): индивидуальная, частично фронтальная, частично парная

Критерии оценивания:

А – знание и понимание +
В – применение и рассуждение
С – сообщение +
D – рефлексия и оценка

Области взаимодействия:

ATL - Уметь эффективно использовать время, планировать свою деятельность в соответствии с поставленными целями и задачами, определять наиболее рациональную последовательность деятельности. Умение отвечать на вопросы, приводить доводы, аргументировать. Уметь анализировать и оценивать собственную учебно-познавательную деятельность, находить пути решения проблем.
HI учащиеся исследуют последствия деятельности человека

Ход урока

I. Организация урока

II. Проверка самоподготовки

a) № 12.2(б, в).

Ответ:(5; 3). Ответ:(2; 3).

Ответ: (4;2)

Выразите одну переменную через другую:

p = р /(g * h) – плотность жидкости
р = g * p * h - давление жидкости на дно сосуда
h = р /(g * p) – высота
p = m / V - плотность
m = V * p -масса
p = m / V – плотность

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки:

Выразить y через x из первого (или второго) уравнения системы.
Подставить полученное на первом шаге выражение вместо y во второе (первое) уравнение системы.
Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.
Подставить найденное на третьем шаге значение x в выражение y через x, полученное на первом шаге.
Записать ответ в виде пары значений (x; y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.

Самостоятельная работа:

В рабочей тетради стр. 46 – 47.

на “3” № 6(а);
на “4” № 6(б);
на “5” № 7.

III. Актуализация опорных знаний

Что такое система линейных уравнений с двумя переменными?

Система уравнений - это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения.

Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными?

Если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны, корней нет.

Если угловые коэффициенты не равны, то прямые пересекаются, один корень (координаты точки пересечения).

Если угловые коэффициенты равны, то прямые совпадают, корень бесконечно много.

IV. Изучение нового материала

Заполни пропуски: Приложение 1 (с последующей самопроверкой по слайдам)

V. Работа по теме урока

В классе: №№ 13.2(а, г),13.3(а, г).

VI. Домашнее задание

Параграф 13 - учебник; словарь; № 13.2(б, в), 13.3(б, в).

VII. Итог урока

Ура!!! Мне всё понятно!
Есть моменты, над которыми мне надо поработать!
Были неудачи, но я все преодолею!

VIII. Решение задач на военную составляющую

Основной боевой танк Т-80.

Принят на вооружение в 1976 году. Первый в мире серийный танк с основной силовой установкой на базе газотурбинного двигателя.

Основные тактико-технические данные (ТТД):

Масса, т – 46

Скорость, км/ч – 70

Запас хода, км – 335-370

Вооружение: 125-мм гладкоствольное орудие (боекомплект 40 шт.);

12,7-мм пулемет (боекомплект 300 шт.);

7,62-мм пулемет ПКТ (боекомплект 2000 шт.)

Сколько времени может находиться в движении танк Т-80 без дозаправки?

В данном случае удобно из второго уравнения системы выразить x через y и подставить полученное выражение вместо x в первое уравнение:

Первое уравнение — уравнение с одной переменной y. Решаем его:

5(7-3y)-2y = -16

Полученное значение y подставляем в выражение для x:

Ответ: (-2; 3).

В данной системе проще из первого уравнения выразить y через x и подставить полученное выражение вместо y во второе уравнение:

Второе уравнение — уравнение с одной переменной x. Решим его:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

В выражение для y вместо x подставляем x=1 и находим y:

Ответ: (1; -5).

Здесь удобнее из второго уравнения выразить y через x (поскольку делить на 10 проще, чем на 4, -9 или 3):

Решаем первое уравнение:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

Подставляем x=2 и находим y:

Ответ: (2; 1).

Прежде чем применить метод подстановки, эту систему следует упростить. Обе части первого уравнения можно умножить на наименьший общий знаменатель, во втором уравнении раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: