Системы счисления - это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

Уже в эпоху палеолита люди стремились группировать точки, полосы и насечки по 3,4,5, или 7. Такая группировка облегчала счет. В древности люди считали на пальцах, поэтому предметы стали группировать по 5 или 10. В дальнейшем десяток десятков получил особое название, десяток сотен - свое название. Для удобства записи числа стали обозначать особыми знаками. Поскольку в такой записи положение знака не играет роли, подобные системы счисления стали называть непозиционными. Непозиционные системы счисления использовали древние египтяне, греки и римляне. Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения операций сложения и вычитания, но совсем не удобны для умножения и деления.

Чтобы облегчить работу, использовали счетные доски – абаки.

Позиционные системы счисления. Десятичная система счисления

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен.

К позиционной шестидесятеричной системе перешли вавилоняне. Долгое время в вавилонской системе счета не было нуля, т. е. знака для пропущенного разряда. Сначала это не создавало неудобств, но когда стали составлять обширные математические и астрономические таблицы, возникла необходимость в таком знаке. Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших дней в порядке счета времени (1 ч=60 мин. , 1 мин. =60 сек.).

В V1 в. , точнее в 595г. индийцы создали способ записи, использующий лишь 9 цифр. Вместо нуля оставляли пустое место, а позднее ставили точку или маленький кружок. Особый знак для нуля появился в 1Х в. были выработаны правила выполнения арифметических операций над числами в десятичной системе счисления, не требовавшие использования абака, и этот способ записи распространился по всему миру. О десятичной системе счисления подробно рассказал среднеазиатский математик аль - Хорезми. Поскольку он написал свой труд на арабском языке, то системе в Европе дали неправильное название – «арабская».

Позиционные системы с произвольным основанием.

Мы привыкли к десятичной системе счисления. Компьютеру как нельзя лучше подходит двоичная система. Но иногда могут оказаться удобными системы с другими основаниями. Счёт на дюжины прекрасный тому пример. Здесь числовая база – степени числа 12.

В общем же случае представить произвольное число N в системе счисления с заданным основанием d означает записать его в виде где d – любое целое число, большее единицы. Коэффициенты a0, а1,аn называются цифрами в d – ичной записи N. Они могут принимать лишь d значений: 0,или 1, или 2, или d-1. Заметим, что в случае d > 10 придётся придумывать новые символы для цифр.

Для нахождения цифр числа по заданному числу N и основанию d можно воспользоваться следующим способом: сначала находят самое большое базовое число, не превосходящее N. Затем число N делят на d, в результате чего получают неполное частное an и остаток r n-1, т. е.

Остаток r n-1 уже меньше базового числа, поэтому делим r n-1 на d! И получаем неполное частное an-1 и остаток r n-2:

На практике определять d-ичные цифры числа N, начиная со старшего разряда, не очень удобно. Для этой цели обычно применяют другой способ. Представим число N в виде выражения не содержащего степеней:

Отсюда видно, что цифры an an-1, a1 a0 могут быть найдены последовательно, начиная с младшего разряда, в результате следушего многошагового процесса: a0 равно остатку то деления N на d; a1 равно остатку от деления на d неполного частного, полученного на предыдущем шаге; an равно остатку от деления на d неполного частного, полученного на предыдущем шаге.

То. Что число N в d-ичной системе счисления выражается цифрами an an-1, a1 a0, записывается так:

Например: 26700 = (110100001001100)2 = (1323300)5.

Положительным рациональным числом (обыкновенной положительной дробью) называется число, которое может быть записано в виде

Где p, q-натуральные числа. Число p называется числителем дроби, а число q-ее знаменателем.

Мы знаем, что дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число n; другими словами, для любого натурального числа n справедливо равенство

Если числа p и q не имеют общих простых делителей, то дробь называется несократимой или правильной.

Если знаменатель q дроби равен 10 или 100, или 1000 и т. д. , то обыкновенную дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби, каждая из которых называется десятичным разложением соответствующей обыкновенной дроби.

Очевидно также, что всякая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной дроби, где p-натуральное число, а q-некоторая степень числа 10.

Если знаменатель q обыкновенной дроби есть некоторая степень числа 10, то эта дробь может быть разложена в конечную десятичную дробь. Верно и обратное утверждение: конечная десятичная дробь представляет собой десятичное разложение обыкновенной дроби, знаменатель которой есть некоторая степень числа 10.

Восьмеричная система счисления

Восьмери́чная систе́ма счисле́ния - позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры 0 до 7.

Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Если мы обращаемся к восьмеричной системе счисления, то это означает, что можно использовать гораздо больше цифр, чем это принято в двоичной, но меньше, чем в десятичной, а именно можно оперировать восемью цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 - и не более.

Логика конвертирования десятичных чисел в восьмеричные (кодирование в восьмеричную систему счисления) совершенно идентична приведенной выше.

Более подробная информация - в разд. "Запись целых чисел в двоичной системе счисления" данной главы.

Действительно, в определенный момент цифры заканчиваются (наступает "кризис переходного периода").

Десятичное число "8" становится восьмеричным числом "10" ("восьмеричной десяткой"). Число "9" будет восьмеричным числом "11", число "10" - восьмеричным числом "12". И так далее до десятичного числа "15", которое в восьмеричном виде равно числу "17". А дальше?

Цифры снова кончились. Как будет представлено десятичное число "16" в восьмеричной системе счисления?

178 + 1 =. , но сумма "78 + 1" равняется "10" в восьмеричной системе счисления, а, следовательно, восьмеричный "десяток" необходимо складывать с "десятком", уже имеющимся, т. е. получается сумма, присутствующая в восьмеричной системе: "1 + 1 = 2". В результате получается, что

Представим эту информацию в виде таблицы (табл. 4. 4).

Таблица 4. 4. Соответствие десятичных и восьмеричных чисел

Десятичные числа Восьмеричные числа Десятичные числа Восьмеричные числа

0-7 0-7 25-63 31-77

9-15 11-17 128 200

17-23 21-27 512 1000

Но даже такие числа все-таки мало экономны, по крайней мере, их разрядность не уступает десятичной системе, поэтому в компьютерных технологиях применяется еще одна система счисления, которая называется шестна-дцатеричной.

Система счисления - это определенный способ записи чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Системы счисления бывают позиционными и непозиционными.

В позиционной системе счисления величина, которую обозначает цифра в записи числа, зависит от позиции цифры в этом числе. Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления. Для представления цифр больше 10 используют латинские буквы (А=10, В=11). Основание системы счисления - это размер алфавита. Число в позиционной системе можно представить в виде суммы произведений составляющих его цифр на соответствующие степени основания системы.

Любая позиционная система вводится следующим образом. Выбирается основание р - целое число и алфавит из р цифр: О, 1, 2,. , р-1. Тогда любое число Х в этой системе представляется в виде суммы произведений:

Х = аn*рn + an-1*pn-1 + + a0*p0

Здесь Х - это число в системе с основанием p, имеющее n+1 цифру в целой части - это цифры из алфавита системы.

Перевод чисел из одной позиционной системы в другую

При переводе чисел из десятичной системы в р-ичную надо разложить десятичное число на слагаемые, содержащие степени числа р. Перевод целого десятичного числа производится путем последовательного деления числа на основание р с выделением остатков от деления до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Выписывая остатки от деления справа налево, получаем р-ричную запись десятичного числа.

В позиционных системах значение записи целого числа определяется по следующему правилу: пусть a na n-1a n-2a 1a 0 - запись числа A, а i – цифры, тогда

A = a n·pn+a n-1·pn-1 +a n-2·pn-2+. +a 1·p1+ a0·p0 (1), где p - целое число большее 1, которое называется основанием системы счисления

Для того, чтобы при заданном p любое неотрицательное целое число можно было бы записать по формуле (1) и притом единственным образом, числовые значения различных цифр должны быть различными целыми числами, принадлежащими отрезку от 0 до p-1.

1) Десятичная система p = 10 цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 число 5735 = 5·103+7·102+3·101+8·100

2) Троичная система p = 3 цифры: 0,1,2 число 2013 = 2·32+0·31+1·30

Замечание: нижним индексом в записи числа обозначается основание системы счисления, в которой записано число. Для десятичной системы счисления индекс можно не писать.

Представление отрицательных и дробных чисел:

Во всех позиционных системах для записи отрицательных чисел так же как и в десятичной системе используется знак ‘–‘. Для отделения целой части числа от дробной используется запятая. Значение записи a na n-1a n-2a 1a 0, a -1 a -2a m-2 a m-1a m числа A определяется по формуле, являющейся обобщением формулы (1):

A = an·pn+a n-1·p n-1+a n-2·p n-2++a1·p1+a0·p0+a-1·p-1+a -2·p-2++am-2·p–(m–2)+am–1·p–(m–1)+amp–m (2),

75,6 = 7·101+5·100+6·10–1

–2,3145 = –(2·50+3·5–1+1·5–2+4·5–3)

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную:

Следует понимать, что при переводе числа из одной системы счисления в другую количественное значение числа не изменяется, а меняется только форма записи числа, так же как при переводе названия числа, например, с русского языка на английский.

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную выполняется непосредственным вычислением по формуле (1) для целых и формуле (2) для дробных чисел.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в произвольную.

Перевести число из десятичной системы в систему с основанием p – значит найти коэффициенты в формуле (2). Иногда это легко сделать простым подбором. Например, пусть нужно перевести число 23,5 в восьмеричную систему. Нетрудно заметить, что 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·81+7·80+4·8–1 =27,48. Понятно, что не всегда ответ столь очевиден. В общем случае применяется способ перевода отдельно целой и дробной частей числа.

Для перевода целых чисел применяется следующий алгоритм (полученный на основании формулы (1)):

1. Найдем частное и остаток от деления числа на p. Остаток будет очередной цифрой ai (j=0,1,2) записи числа в новой системе счисления.

2. Если частное равно нулю, то перевод числа закончен, иначе применяем к частному пункт 1.

Замечание 1. Цифры ai в записи числа нумеруются справа налево.

Замечание 2. Если p>10, то необходимо ввести обозначения для цифр с числовыми значениями, большими или равными 10.

Перевести число 165 в семеричную систему счисления.

165:7 = 23 (остаток 4) => a0 = 4

23:7 = 3 (остаток 2) => a1 = 2

3:7 = 0 (остаток 3) => a2 = 3

Выпишем результат: a2a1a0, т. е. 3247.

Выполнив проверку по формуле (1), убедимся в правильности перевода:

3247=3·72+2·71+4·70=3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.

Для перевода дробных частей чисел применяется алгоритм, полученный на основании формулы (2):

1. Умножим дробную часть числа на p.

2. Целая часть результата будет очередной цифрой am (m = –1,–2, –3) записи числа в новой системе счисления. Если дробная часть результата равна нулю, то перевод числа закончен, иначе применяем к ней пункт 1.

Замечание 1. Цифры am в записи числа располагаются слева направо в порядке возрастания абсолютного значения m.

Замечание 2. Обычно количество дробных разрядов в новой записи числа ограничивается заранее. Это позволяет выполнить приближенный перевод с заданной точностью. В случае бесконечных дробей такое ограничение обеспечивает конечность алгоритма.

Перевести число 0,625 в двоичную систему счисления.

0,625·2 = 1,25 (целая часть 1) => a-1 =1

0,25·2 = 0,5 (целая часть 0) => a-2 = 0

0,5·2 = 1,00 (целая часть 1) => a-3 = 1

Итак, 0,62510 = 0,1012

Выполнив проверку по формуле (2), убедимся в правильности перевода:

0,1012=1·2-1+0·2-2+1·2-3=1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.

Перевести число 0,165 в четверичную систему счисления, ограничившись четырьмя четверичными разрядами.

0,165·4 = 0,66 (целая часть 0) => a-1=0

0,66·4 = 2,64 (целая часть 2) => a-2= 2

0,64·4 = 2,56 (целая часть 2) => a-3= 2

0,56·4 = 2,24 (целая часть 2) => a-4= 2

Итак, 0,16510 ” 0,02224

Выполним обратный перевод, чтобы убедиться, что абсолютная погрешность не превышает 4–4:

0,02224 = 0·4-1+2·4-2+2·4-3+2·4-4= 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/128 = 21/128 = 0,1640625

0,1640625–0,165 = 0,00094

Перевод чисел из одной произвольной системы в другую

В этом случае сначала следует выполнить перевод числа в десятичную систему, а затем из десятичной в требуемую.

Особым способом выполняется перевод чисел для систем с кратными основаниями.

Пусть p и q – основания двух систем счисления. Будем называть эти системы системами счисления с кратными основаниями, если p = qn или q = pn, где n – натуральное число. Так, например, системы счисления с основаниями 2 и 8 являются системами счисления с кратными основаниями.

Пусть p = qn и требуется перевести число из системы счисления с основанием q в систему счисления с основанием p. Разобьем целую и дробную части записи числа на группы по n последовательно записанных цифр влево и вправо от запятой. Если количество цифр в записи целой части числа не кратно n, то надо дописать слева соответствующее количество нулей. Если количество цифр в записи дробной части числа не кратно n, то нули дописываются справа. Каждая такая группа цифр числа в старой системе счисления будет соответствовать одной цифре числа в новой системе счисления.

Переведем 1100001,1112 в четверичную систему счисления.

Дописав нули и выделив пары цифр, получим 01100001,11102.

Теперь выполним перевод отдельно каждой пары цифр, пользуясь пунктом Перевод чисел из одной произвольной системы в другую.

Итак, 1100001,1112 = 01100001,11102 = 1201,324.

Пусть теперь требуется выполнить перевод из системы с большим основанием q, в систему с меньшим основанием p, т. е. q = pn. В этом случае одной цифре числа в старой системе счисления соответствует n цифр числа в новой системе счисления.

Пример: Выполним проверку предыдущего перевода числа.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

В шестнадцатеричной системе есть цифры с числовыми значениями 10,11,12, 13,14,15. Для их обозначения используют первые шесть букв латинского алфавита A, B, C, D, E, F.

Приведем таблицу чисел от 0 до 16, записанных в системах счисления с основаниями 10, 2, 8 и 16.

Число в десятичной системе счисления 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 В восьмеричной 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 В двоичной 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 В шестнадцатеричной 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 Для записи шестнадцатеричных цифр можно использовать также строчные латинские буквы a-f.

Пример: Переведем число 110101001010101010100,112 в шестнадцатеричную систему счисления.

Воспользуемся кратностью оснований систем счисления (16=24). Сгруппируем цифры по четыре, дописав, слева и справа нужное количество нулей

000110101001010101010100,11002 и, сверяясь с таблицей, получим: 1A9554,C16

В какой системе счисления лучше записывать числа – это вопрос удобства и традиций. С технической точки зрения, в ЭВМ удобно использовать двоичную систему, так как в ней для записи числа используются только две цифры 0 и 1, которые можно представить двумя легко различимыми состояниями “нет сигнала ” и “есть сигнал”.

А человеку, напротив, неудобно иметь дело с двоичными записями чисел из-за того, что они более длинные, чем десятичные и в них много повторяющихся цифр. Поэтому, при необходимости работать с машинными представлениями чисел используют восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. Основания этих систем – целые степени двойки, и поэтому числа легко переводятся из этих систем в двоичную и обратно.

Двоичная система счисления. Бит и байт. Сегментация памяти.

Рассмотрим, как в памяти компьютера хранятся данные.

Вообще, как компьютер может хранить, например, слово "диск"? Главный принцип - намагничивание и размагничивание одной дорожки (назовем ее так). Одна микросхема памяти - это, грубо говоря, огромное количество дорожек. Сейчас попробуем разобраться. Например: нуль будет обозначаться как 0000 (четыре нуля), один 0001, два 0010,

(т. е. правую единицу заменяем на 0 и вторую устанавливаем в 1).

Уловили принцип? "0" и "1" - это т. н. биты. Один бит, как вы уже заметили, может быть нулем или единицей, т. е. размагничена или намагничена та или иная дорожка ("0" и "1" это условное обозначение). Если еще присмотреться, то можно заметить, что каждый следующий установленный бит (начиная справа) увеличивает число в два раза: 0001 в нашем примере = 1; 0010 два; 0100 четыре; 1000 восемь и т. д. Это и есть т. н. двоичная форма представления данных.

Т. о. чтобы обозначить числа от 0 до 9 нам нужно четыре бита (хоть они и не до конца использованы. Можно было бы продолжить: десять 1010, одиннадцать 1011 , пятнадцать 1111).

Компьютер хранит данные в памяти именно так. Для обозначения какого-нибудь символа (цифры, буквы, запятой, точки.) в компьютере используется определенное количество бит. Компьютер "распознает" 256 (от 0 до 255) различных символов по их коду. Этого достаточно, чтобы вместить все цифры (0 - 9), буквы латинского алфавита (a - z, A - Z), русского (а - я, А - Я), а также другие символы. Для представления символа с максимально возможным кодом (255) нужно 8 бит. Эти 8 бит называются байтом. Т. о. один любой символ - это всегда 1 байт.

Т. о. слово "диск" будет занимать 4 байта или 4*8 = 32 бита. Как вы уже поняли, компьютер хранит в памяти не сами буквы этого слова, а последовательность "единичек" и "ноликов". "Почему же тогда на экране мы видим текст, а не "единички-нолики"? - спросите вы. Чтобы удовлетворить ваше любопытство, я забегу немного вперед и скажу, что всю работу по выводу самого символа на экран (а не битов) выполняет видеокарта (видеоадаптер), которая находится в вашем компьютере. И если бы ее не было, то мы, естественно, ничего бы не видели, что у нас творится на экране.

В Ассемблере после двоичного числа всегда должна стоять буква "b". Это нужно для того, чтобы при ассемблировании нашей программы Ассемблер смог отличать десятичные, шестнадцатеричные и двоичные числа. Например: 10 - это "десять", 10h - это "шестнадцать" а 10b - это "два" в десятичной системе.

Т. о. в регистры можно загружать двоичные, десятичные и шестнадцатеричные числа.

Например: mov ax,20 mov bh,10100b mov cl,14h

В результате в регистрах AX, BH и CL будет находится одно и тоже число, только загружаем мы его в разных системах. Компьютер же будет хранить его в двоичном формате (как в регистре BH).

Итак, подведем итог. В компьютере вся информация хранится в двоичном формате (двоичной системе) примерно в таком виде: 10101110 10010010 01111010 11100101 (естественно, без пробелов. Для удобства я разделили биты по группам). Восемь бит - это один байт. Один символ занимает один байт, т. е. восемь бит. По-моему, ничего сложного. Очень важно уяснить данную тему, так как мы будем постоянно пользоваться двоичной системой, и вам необходимо знать ее на "отлично".

Зачем нужны различные позиционные системы?

Позиционные системы с различными основаниями используются для изучения свойств чисел уже не одну сотню лет. Например, с помощью записи целых чисел в различных системах можно получить признаки делимости. Рассмотрение некоторых других вопросов теории делимости также облегчается использованием недесятичных позиционных систем.

Однако этот вопрос занимал лишь сравнительно небольшой круг людей, главным образом специалистов в области так называемой высшей арифметики – теории чисел. Но положение изменилось с момента возникновения и широкого распространения вычислительных машин.

Конструкция цифровых вычислительных машин тесно связана с принятой системой счисления.

Вычислительные устройства.

Простейшим цифровым вычислительным устройством являются хорошо известные русские счёты. В них для изображения числа используются спицы с надетыми на них косточками. Количество спиц соответствует количеству разрядов, отведённых для изображения числа. Каждая спица может находиться в различных состояниях, определяемых количеством опущенных косточек. Так как в десятичной системе имеется десять различных цифр, то для их изображения нужно иметь десять различных состояний. Для этого на каждую спицу надевают десять косточек.

Русские счёты

Другим примером цифровой вычислительной машины является арифмометр. Здесь для изображения различных цифр в каждом разряде используется зубчатая шестерёнка. Окружность колёсика, из которого эта шестерёнка сделана, разбивается на 10 частей. На каждой такой части имеется зубец шестерёнки. Поворачиваясь вокруг своей оси, шестерёнка может останавливаться только в таких положениях, когда какой-либо её зубец устанавливается против окошка в корпусе арифмометра. На каждом зубце шестерёнки написана соответствующая цифра.

Рассмотренные примеры показывают, что применяемая для записи чисел позиционная система счисления предъявляет свои требования к конструкции вычислительных машин: десять косточек на спице, десять зубцов шестерёнке и десять ступенек на валике объясняются тем, что число изображается в десятичной системе счисления.

Т.В. Сарапулова, И.Е. Трофимов

НЕПОЗИЦИОННЫЕ И СМЕШАННЫЕ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

направления 230700.62 «Прикладная информатика» в качестве методических указаний для самостоятельной работы
по дисциплине «Информационные системы и технологии»

Кемерово 2012

Рецензенты:

1. Прокопенко Евгения Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладных информационных технологий.

2. Соколов Игорь Александрович, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой прикладных информационных технологий, председатель УМК направления 230700.62 «Прикладная информатика».

Сарапулова Татьяна Викторовна, Трофимов Иван Евгеньевич. Непозиционные и смешанные системы счисления: метод. указания для самостоятельной работы по дисциплине «Информационные системы и технологии» [электронный ресурс] : для студентов направления подготовки бакалавров 230700.62 «Прикладная информатика»/ Т. В. Сарапулова, И. Е. Трофимов. – Электрон. дан. – Кемерово: КузГТУ, 2012. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM) ; зв. ; цв. ; 12 см. – Систем. требования: ОЗУ 64 Мб; Windows XP/Vista/7 ; (CD-ROM-дисковод). – Загл. с экрана.

Методические указания предназначены для самостоятельного изучения непозиционных и смешанных систем счисления. В состав указаний входят теоретическая база и контрольные вопросы.

Ó Сарапулова Т.В, Трофимов И.Е.

ВВЕДЕНИЕ.. 4

1. НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.. 5

1.1. Римская система счисления. 6

1.2. Система остаточных классов (СОК) 6

1.3. Система счисления Штерна-Броко. 8

2. СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.. 9

2.1. Система счисления майя. 10

2.2. Факториальная система счисления. 10

2.3. Фибоначчиева система счисления. 11

Целью данной самостоятельной работы является изучение непозиционных и смешанных систем счисления.

ВВЕДЕНИЕ

Одним из обязательных требований к специалисту в области информационных технологий является знание принципов работы с числами. На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятие «много». Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки.

Проведём границу между числом и цифрой. Число – это некоторая абстрактная сущность для описания количества. Цифры – это знаки, используемые для записи чисел. Цифры бывают разные, самыми распространёнными являются арабские цифры, представляемые известными нам знаками от нуля (0) до девяти (9); менее распространены римские цифры, мы их можем иногда встретить на циферблате часов или в обозначении века (XIX век).

Итак, запомним: число – это некая абстрактная мера количества , цифра – это знак (рисунок) для записи числа .

Всё множество способов записи чисел с помощью цифр можно разделить на три части:

1. позиционные системы счисления;

2. смешанные системы счисления;

3. непозиционные системы счисления.

Денежные знаки – это яркий пример смешанной системы счисления. Сейчас в России используются монеты и купюры следующих номиналов: 1 коп., 5 коп., 10 коп., 50 коп., 1 руб., 2 руб., 5 руб., 10 руб., 50 руб., 100 руб., 500 руб., 1000 руб. и 5000 руб. Чтобы получить некоторую сумму в рублях, нам нужно использовать определенное количество денежных знаков различного достоинства. Предположим, что мы покупаем пылесос, который стоит 6379 руб. Чтобы расплатиться, нам потребуется шесть купюр по тысяче рублей, три купюры по сто рублей, одна пятидесятирублёвая купюра, две десятки, одна пятирублёвая монета и две монеты по два рубля. Если мы запишем количество купюр или монет начиная с 1000 руб. и заканчивая одной копейкой, заменяя нулями пропущенные номиналы, то мы получим число, представленное в смешанной системе счисления; в нашем случае – 603121200000.

В непозиционной же системе счисления величина числа не зависит от положения цифры в представлении числа. Ярким примером непозиционной системы счисления является римская система. Не смотря на свой почтенный возраст, данная система до сих пор используется, хотя и не является общеупотребимой.

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр.

С глубокой древности люди повсеместно использовали непозиционные системы счисления. Для подсчета животных, населения, запасов использовались различные буквы, пиктограммы и прочие геометрические фигуры. Со временем непозиционные системы стали менее популярны и в современном мире мы встречаем типичного представителя непозиционных систем – римскую систему счисления, уже скорее как экзотическое письмо, нежели реально действующую систему. Причиной отказа от непозиционных систем счисления стало появление позиционных систем, давших возможность использовать значительно меньшие цифровые алфавиты для обозначения даже очень больших чисел и, что еще важнее, обеспечивающих простое выполнение арифметических операций над числами.

Римская система счисления

Каноническим примером фактически непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

I обозначает 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000.

Например, II = 1 + 1 = 2, здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.

Заметьте, что символ нуля в данной системе счисления, как и в других непозиционных системах, отсутствует за ненадобностью.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явно прослеживаются следы пятеричной системы счисления.

На самом деле, римская система не является полностью непозиционной , так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:

VI = 6, т.е. 5 + 1, в то время как IV = 4, т.е. 5 – 1;

XL = 40, т.е. 50 – 10, в то время как LX = 60, т.е. 50 + 10.

Подряд одна и та же цифра в римской системе ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.

Другие же числа записываются, например, как: XXVIII = 28; XXXIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Задавшись вопросом о том, сколько же чисел можно записать в римской системе, мы быстро обнаружим, что их диапазон простирается от 1 (I) до 3999 (MMMCMXCIX). Столь узкий диапазон чисел серьезно ограничивает применение системы в современной жизни, где счет идет на миллионы.

Сейчас римской системой счисления пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д.

Похожая информация.

Изучая кодировки, я понял, что недостаточно хорошо понимаю системы счислений. Тем не менее, часто использовал 2-, 8-, 10-, 16-ю системы, переводил одну в другую, но делалось все на “автомате”. Прочитав множество публикаций, я был удивлен отсутствием единой, написанной простым языком, статьи по столь базовому материалу. Именно поэтому решил написать свою, в которой постарался доступно и по порядку изложить основы систем счисления.

Введение

Система счисления - это способ записи (представления) чисел.

Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача - их посчитать. Для этого можно - загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево - один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру - палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором - композиция камней и палочек, где слева - камни, а справа - палочки

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, - на однородные и смешанные.

Непозиционная - самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек - то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.

Позиционная система - значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления - позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 - кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 - единиц и значению 3. Как видим - чем больше разряд - тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.

Однородная система - для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд - 0, 2-й - 5, 3-й - 4), а 4F5 - нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система - в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример - система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.

Непозиционные системы

Как только люди научились считать - возникла потребность записи чисел. В начале все было просто - зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления - единичная.

Единичная система счисления

Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.
Но эта система обладает явными неудобствами - чем больше число - тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.

Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная система

В Древнем Египте использовались специальные символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Вот некоторые из них:

Почему она называется десятичной? Как писалось выше - люди стали группировать символы. В Египте - выбрали группировку по 10, оставив без изменений цифру “1”. В данном случае, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а каждый символ - представление числа 10 в какой-то степени.

Числа в древнеегипетской системе счисления записывались, как комбинация этих
символов, каждый из которых повторялся не более девяти раз. Итоговое значение равнялось сумме элементов числа. Стоит отметить, что такой способ получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Примером может служить число 345:

Вавилонская шестидесятеричная система

В отличии от египетской, в вавилонской системе использовалось всего 2 символа: “прямой” клин - для обозначения единиц и “лежачий” - для десятков. Чтобы определить значение числа необходимо изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. В качестве примера возьмем число 32:

Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а большие значения - в позиционной с основанием 60. Число 92:

Запись числа была неоднозначной, поскольку не существовало цифры обозначающей ноль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа был введен специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:

Теперь число 3632 следует записывать, как:

Шестидесятеричная вавилонская система - первая система счисления, частично основанная на позиционном принципе. Данная система счисления используется и сегодня, например, при определении времени - час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.

Римская система

Римская система не сильно отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления - это набор стоящих подряд цифр.

Методы определения значения числа:

1. Значение числа равно сумме значений его цифр. Например, число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. Если слева от большей цифры стоит меньшая, то значение равно разности между большей и меньшей цифрами. При этом, левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1); число 444 в рассматриваемой системе счисления будет записано в виде CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
3. Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты.

Помимо цифирных, существуют и буквенные (алфавитные) системы счисления, вот некоторые из них:
1) Славянская
2) Греческая (ионийская)

Позиционные системы счисления

Как упоминалось выше - первые предпосылки к появлению позиционной системы возникли в древнем Вавилоне. В Индии система приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля, а у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы. По каким-то причинам, в Европе за этой системой закрепилось название “арабская”.

Десятичная система счисления

Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.

Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас - позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 503 10 .

Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.

Двоичная система счисления

Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу - сложные верёвочные сплетения и узелки.

Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра - либо 0, либо 1.

Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .

Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа - 0 и 1?

Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое - единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр - группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров - это оперативная память. Число, содержащееся в регистре - машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа - достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах (о них будет рассказано ниже), поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто. Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к 16-ой - по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими. В качестве примера возьмем число 101100 2 . В восьмеричной - это 101 100 = 54 8 , а в шестнадцатеричной - 0010 1100 = 2С 16 . Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране. Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.

Восьмеричная система счисления

8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.

Пример восьмеричного числа: 254. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд исходного числа умножить на 8 n , где n - это номер разряда. Получается, что 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF - белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.

В качестве примера возьмем число 4F5 16 . Для перевода в восьмеричную систему - сначала преобразуем шестнадцатеричное число в двоичное, а затем, разбив на группы по 3 разряда, в восьмеричное. Чтобы преобразовать число в 2-е необходимо каждую цифру представить в виде 4-х разрядного двоичного числа. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Но в 1 и 3 группах не достает разряда, поэтому заполним каждый ведущими нулями: 0100 1111 0101. Теперь необходимо разделить полученное число на группы по 3 цифры справа налево: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Переведем каждую двоичную группу в восьмеричную систему, умножив каждый разряд на 2 n , где n - номер разряда: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
1) Троичная
2) Четверичная
3) Двенадцатеричная

Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.

Однородные позиционные системы счисления

Определение, данное в начале статьи, достаточно полно описывает однородные системы, поэтому уточнение - излишне.

Смешанные системы счисления

К уже приведенному определению можно добавить теорему: “если P=Q n (P,Q,n – целые положительные числа, при этом P и Q - основания), то запись любого числа в смешанной (P-Q)-ой системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q.”

Опираясь на теорему, можно сформулировать правила перевода из P-й в Q-ю системы и наоборот:

1. Для перевода из Q-й в P-ю, необходимо число в Q-й системе, разбить на группы по n цифр, начиная с правой цифры, и каждую группу заменить одной цифрой в P-й системе.
2. Для перевода из P-й в Q-ю, необходимо каждую цифру числа в P-й системе перевести в Q-ю и заполнить недостающие разряды ведущими нулями, за исключением левого, так, чтобы каждое число в системе с основанием Q состояло из n цифр.

Яркий пример - перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную. Возьмем двоичное число 10011110 2 , для перевода в восьмеричное - разобьем его справа налево на группы по 3 цифры: 010 011 110, теперь умножим каждый разряд на 2 n , где n - номер разряда, 010 011 110 = (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = 236 8 . Получается, что 10011110 2 = 236 8 . Для однозначности изображения двоично-восьмеричного числа его разбивают на тройки: 236 8 = (10 011 110) 2-8 .

Смешанными системами счисления также являются, например:
1) Факториальная
2) Фибоначчиева

Перевод из одной системы счисления в другую

Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.

Преобразование в десятичную систему счисления

Имеется число a 1 a 2 a 3 в системе счисления с основанием b. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд числа умножить на b n , где n - номер разряда. Таким образом, (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .

Пример: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Преобразование из десятичной системы счисления в другие

Целая часть:

1. Последовательно делим целую часть десятичного числа на основание системы, в которую переводим, пока десятичное число не станет равно нулю.
2. Полученные при делении остатки являются цифрами искомого числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.

Дробная часть:

1. Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
2. Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.

Пример: переведем 15 10 в восьмеричную:
15\8 = 1, остаток 7
1\8 = 0, остаток 1

Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 15 10 = 17 8 .

Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

Для перевода в восьмеричную - разбиваем двоичное число на группы по 3 цифры справа налево, а недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями. Далее преобразуем каждую группу, умножая последовательно разряды на 2 n , где n - номер разряда.

В качестве примера возьмем число 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = (0+0+1) (0+0+1) = 11 8

Для перевода в шестнадцатеричную - разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем - аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.

Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную

Перевод из восьмеричной в двоичную - преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 (более подробно о делении см. выше пункт “Преобразование из десятичной системы счисления в другие”), недостающие крайние разряды заполним ведущими нулями.

Для примера рассмотрим число 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

Перевод из 16-ой в 2-ю - преобразуем каждый разряд шестнадцатеричного числа в двоичное 4-х разрядное число делением на 2, недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.

Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную

Преобразование осуществляется также, как и для целых частей, за исключением того, что цифры числа умножаются на основание в степени “-n”, где n начинается от 1.

Пример: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0,25 + 0,125) = 5,375 10

Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую

Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.

Пример: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8

Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.

Для примера переведем 10,625 10 в двоичную систему:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Записав все остатки сверху вниз, получаем 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2

Непозиционные системы счисления

Люди научились считать очень давно. В последствии появилась потребность в записи чисел. Количество предметов изображалось нанесением черточек, засечек на какой-нибудь твердой поверхности.Чтобы два человека могли точно сохранить некоторую числовую информацию, они брали деревянную бирку, делали на ней нужное число зарубок, а потом раскалывали бирку пополам. Каждый уносил свою половинку и хранил ее. Этот прием позволял избегать спорных ситуаций. Археологами найдены такие записи при раскопках. Они относятся к 10-11 тысячелетию до н.э.
Ученые назвали такую систему записи чисел единичной (унарной) , так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.

Позднее эти значки стали объединять в группы по 3, 5 и 10 палочек. Поэтому возникали более удобные системы счисления.

Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел использовались специальные значки - иероглифы. Каждый такой иероглиф мог повторяться не более 9 раз.Такая система счисления называется древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления

Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. Она называется римская система счисления .

В основе лежат знаки I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

Римскими цифрами пользовались очень долго, сегодня они используются в основном для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

Чтобы записать число, римляне использовали не только сложение, но и вычитание.
Правила составления чисел в римской системе счисления:

1. Идущие подряд несколько одинаковых цифр складываются (группа первого вида).
2. Если слева от большей цифры стоит меньшая, то от значения большей отнимается значение меньшей цифры(группа второго вида).
3. Значения групп и цифр, не вошедших в группы первого и второго вида складываются.

В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие римскую. Они назывались ясачные . С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради.

«Русская книга податей»

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков была счетная доска абак - что-то наподобие наших счетов.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системысчисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков,тысяча, миллион, миллиард, триллион.

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Непозиционные - алфавит которых содержит неограниченное количество символов, причем количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от ее начертания. Позиция цифр в числе значения не имеет. Непозиционные системы строятся по принципу аддитивности (англ.Add - сумма) - количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр.

Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в коде числа.

Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных.

В этих системах счисления значение (величина) числа определяется как сумма или разность цифр в числе.

Непозиционные системы счисления имеют ряд недостатков:

• - для записи больших числе приходиться вводить новые цифры;
• - невозможно записывать дробные и отрицательные числа;
• - сложно выполнять арифметические операции.

Есть много видов Н.С.С. например: Унарная, Древниеегипетская, Алфавитная, Греческая, Римская, Вавилонская.

Рассмотрим некоторые из них.

РИМСКАЯ СИСТЕМА ЗАПИСИ

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем "римской нумерации". Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т. д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:

I=1; V=5; X=10; L=50; С=100; D=500; M=1000.

Прежде они имели несколько иную форму. Так, число 1000 изображалось знаком (|), а 500-знаком |).

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. Точно так же знак для 1000 мог составиться из удвоения знака для 500 (или наоборот).

В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. В языке же римлян (латинском) никаких следов пятеричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (весьма вероятно у этрусков).

Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей1). Например, VI=6, т.е. 5+1, IV=4, т.е. 5-1, XL=40, т е. 50-10, LX=60, т.е. 50+10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX=70; LXXX=80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

XXVIII=28; ХХХ1Х=39; CCCXCVII=397; MDCCCXVIII=1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы - до 16 века.

Римские цифры. Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

I обозначает 1,

Например, II = 1 + 1 = 2. Здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.

На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например: IV = 4, в то время как: VI = 6

Число Римское обозначение:

• 100 C
• 500 D
• 1000 M

Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:

система счисление унарный римский

Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.

Соответственно M, D, C, L, X, V, I.

Примеры. Число Римское обозначение:

• 8 VIII
• 31 XXXI
• 46 XLVI
• 99 XCIX
• 666 DCLXVI
• 888 DCCCLXXXVIII
• 1668 MDCLXVIII
• 1989 MCMLXXXIX
• 2009 MMIX
• 3999 MMMCMXCIX

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII - в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.

Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:

• - 999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 - MIM вместо MCMXCIX
• - 95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
• - 1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 - MLM вместо MCML .

Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV», главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII». Применение.

В русском языке римские цифры используются в следующих случаях:

• - номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.;
• - порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II;
• - номер тома в многотомной книге (иногда - номера частей книги, разделов или глав);
• - в некоторых изданиях - номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия;
• - маркировка циферблатов часов «под старину»;
• - иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XXII съезд КПСС и т. п.

В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.

Для записи чисел в римской системе используются два правила:

• -1- каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него;
• -2- каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к нему.

По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов, в ряде других случаев.