Cum se rezolvă grafic inegalitatea funcției exponențiale. Ecuații exponențiale și inegalități

Ecuațiile exponențiale și inegalitățile sunt cele în care necunoscutul este conținut în exponent.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale se reduce adesea la rezolvarea ecuației a x = a b, unde a > 0, a ≠ 1, x este o necunoscută. Această ecuație are o singură rădăcină x = b, deoarece următoarea teoremă este adevărată:

Teorema. Dacă a > 0, a ≠ 1 și a x 1 = a x 2, atunci x 1 = x 2.

Să argumentăm afirmația luată în considerare.

Să presupunem că egalitatea x 1 = x 2 nu este valabilă, adică. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, atunci funcția exponențială y = a x crește și, prin urmare, inegalitatea a x 1 trebuie satisfăcută< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. În ambele cazuri am primit o contradicție cu condiția a x 1 = a x 2.

Să luăm în considerare mai multe probleme.

Rezolvați ecuația 4 ∙ 2 x = 1.

Soluţie.

Să scriem ecuația sub forma 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, din care obținem x + 2 = 0, adică. x = -2.

Răspuns. x = -2.

Rezolvați ecuația 2 3x ∙ 3 x = 576.

Soluţie.

Deoarece 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, ecuația poate fi scrisă ca 8 x ∙ 3 x = 24 2 sau ca 24 x = 24 2.

De aici obținem x = 2.

Răspuns. x = 2.

Rezolvați ecuația 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Soluţie.

Luând factorul comun 3 x - 2 din paranteze din partea stângă, obținem 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

de unde 3 x - 2 = 1, adică. x – 2 = 0, x = 2.

Răspuns. x = 2.

Rezolvați ecuația 3 x = 7 x.

Soluţie.

Deoarece 7 x ≠ 0, ecuația poate fi scrisă ca 3 x /7 x = 1, de unde (3/7) x = 1, x = 0.

Răspuns. x = 0.

Rezolvați ecuația 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Soluţie.

Prin înlocuirea 3 x = a, această ecuație se reduce la ecuația pătratică a 2 – 4a – 45 = 0.

Rezolvând această ecuație, găsim rădăcinile ei: a 1 = 9 și 2 = -5, de unde 3 x = 9, 3 x = -5.

Ecuația 3 x = 9 are rădăcina 2, iar ecuația 3 x = -5 nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială nu poate lua valori negative.

Răspuns. x = 2.

Rezolvarea inegalităților exponențiale se reduce adesea la rezolvarea inegalităților a x > a b sau a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Să ne uităm la câteva probleme.

Rezolvați inegalitatea 3 x< 81.

Soluţie.

Să scriem inegalitatea sub forma 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, atunci funcția y = 3 x este în creștere.

Prin urmare, pentru x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Astfel, la x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Răspuns. X< 4.

Rezolvați inegalitatea 16 x +4 x – 2 > 0.

Soluţie.

Notăm 4 x = t, apoi obținem inegalitatea pătratică t2 + t – 2 > 0.

Această inegalitate este valabilă pentru t< -2 и при t > 1.

Deoarece t = 4 x, obținem două inegalități 4 x< -2, 4 х > 1.

Prima inegalitate nu are soluții, deoarece 4 x > 0 pentru toate x € R.

Scriem a doua inegalitate sub forma 4 x > 4 0, de unde x > 0.

Răspuns. x > 0.

Rezolvați grafic ecuația (1/3) x = x – 2/3.

Soluţie.

1) Să construim grafice ale funcțiilor y = (1/3) x și y = x – 2/3.

2) Pe baza figurii noastre, putem concluziona că graficele funcțiilor considerate se intersectează în punctul cu abscisa x ≈ 1. Verificarea demonstrează că

x = 1 este rădăcina acestei ecuații:

(1/3) 1 = 1/3 și 1 – 2/3 = 1/3.

Cu alte cuvinte, am găsit una dintre rădăcinile ecuației.

3) Să găsim alte rădăcini sau să dovedim că nu există. Funcția (1/3) x este în scădere, iar funcția y = x – 2/3 este în creștere. Prin urmare, pentru x > 1, valorile primei funcție sunt mai mici de 1/3, iar a doua - mai mult de 1/3; la x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 și x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Răspuns. x = 1.

Rețineți că din rezolvarea acestei probleme, în special, rezultă că inegalitatea (1/3) x > x – 2/3 este satisfăcută pentru x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

În această lecție ne vom uita la diverse inegalități exponențiale și vom învăța cum să le rezolvăm, pe baza tehnicii de rezolvare a celor mai simple inegalități exponențiale

1. Definiția și proprietățile unei funcții exponențiale

Să ne amintim definiția și proprietățile de bază ale funcției exponențiale. Rezolvarea tuturor ecuațiilor și inegalităților exponențiale se bazează pe aceste proprietăți.

Functie exponentiala este o funcție de forma , unde baza este gradul și Aici x este variabila independentă, argument; y este variabila dependentă, funcție.

Orez. 1. Graficul funcției exponențiale

Graficul prezintă exponenți crescători și descrescători, ilustrând funcția exponențială cu o bază mai mare de unu și mai mică de unu, dar mai mare de zero, respectiv.

Ambele curbe trec prin punctul (0;1)

Proprietățile funcției exponențiale:

Domeniu: ;

Interval de valori: ;

Funcția este monotonă, crește cu, scade cu.

O funcție monotonă ia fiecare dintre valorile sale având în vedere o singură valoare a argumentului.

Când , când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția crește de la zero inclusiv la plus infinit, adică pentru valori date ale argumentului avem o funcție crescătoare monotonă (). Dimpotrivă, atunci când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția scade de la infinit la zero inclusiv, adică pentru valori date ale argumentului avem o funcție monotonă descrescătoare ().

2. Cele mai simple inegalități exponențiale, metoda soluției, exemplu

Pe baza celor de mai sus, prezentăm o metodă de rezolvare a inegalităților exponențiale simple:

Tehnica de rezolvare a inegalităților:

Echivalează bazele gradelor;

Comparați indicatorii menținând sau schimbând semnul inegalității cu cel opus.

Soluția la inegalitățile exponențiale complexe constă de obicei în reducerea lor la cele mai simple inegalități exponențiale.

Baza gradului este mai mare decât unu, ceea ce înseamnă că semnul inegalității este păstrat:

Să transformăm partea dreaptă în funcție de proprietățile gradului:

Baza gradului este mai mică de unu, semnul inegalității trebuie inversat:

Pentru a rezolva inegalitatea pătratică, rezolvăm ecuația pătratică corespunzătoare:

Folosind teorema lui Vieta găsim rădăcinile:

Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Astfel, avem o soluție la inegalitate:

Este ușor de ghicit că partea dreaptă poate fi reprezentată ca o putere cu un exponent de zero:

Baza gradului este mai mare decât unu, semnul inegalității nu se schimbă, obținem:

Să ne amintim tehnica de rezolvare a unor astfel de inegalități.

Luați în considerare funcția fracționară-rațională:

Găsim domeniul de definiție:

Găsirea rădăcinilor funcției:

Funcția are o singură rădăcină,

Selectăm intervale de semn constant și determinăm semnele funcției pe fiecare interval:

Orez. 2. Intervale de constanță a semnului

Astfel, am primit răspunsul.

Răspuns:

3. Rezolvarea inegalităților exponențiale standard

Să luăm în considerare inegalitățile cu aceiași indicatori, dar baze diferite.

Una dintre proprietățile funcției exponențiale este că ia valori strict pozitive pentru orice valoare a argumentului, ceea ce înseamnă că poate fi împărțită într-o funcție exponențială. Să împărțim inegalitatea dată la partea sa dreaptă:

Baza gradului este mai mare decât unu, se păstrează semnul inegalității.

Să ilustrăm soluția:

Figura 6.3 prezintă grafice ale funcţiilor şi . Evident, când argumentul este mai mare decât zero, graficul funcției este mai mare, această funcție este mai mare. Când valorile argumentului sunt negative, funcția scade, este mai mică. Dacă argumentul este egal, funcțiile sunt egale, ceea ce înseamnă că acest punct este și o soluție a inegalității date.

Orez. 3. Ilustrație de exemplu 4

Să transformăm inegalitatea dată în funcție de proprietățile gradului:

Iată câțiva termeni similari:

Să împărțim ambele părți în:

Acum vom continua să rezolvăm în mod similar cu exemplul 4, împărțim ambele părți la:

Baza gradului este mai mare decât unu, semnul inegalității rămâne:

4. Rezolvarea grafică a inegalităților exponențiale

Exemplul 6 - Rezolvați grafic inegalitatea:

Să ne uităm la funcțiile din stânga și din dreapta și să construim un grafic pentru fiecare dintre ele.

Funcția este exponențială și crește pe întregul său domeniu de definiție, adică pentru toate valorile reale ale argumentului.

Funcția este liniară și scade pe întregul său domeniu de definiție, adică pentru toate valorile reale ale argumentului.

Dacă aceste funcții se intersectează, adică sistemul are o soluție, atunci o astfel de soluție este unică și poate fi ușor de ghicit. Pentru a face acest lucru, iterăm peste numere întregi ()

Este ușor de observat că rădăcina acestui sistem este:

Astfel, graficele funcțiilor se intersectează într-un punct cu un argument egal cu unu.

Acum trebuie să obținem un răspuns. Semnificația inegalității date este că exponentul trebuie să fie mai mare sau egal cu funcția liniară, adică să fie mai mare sau să coincidă cu aceasta. Răspunsul este evident: (Figura 6.4)

Orez. 4. Ilustrație de exemplu 6

Deci, ne-am uitat la rezolvarea diferitelor inegalități exponențiale standard. În continuare trecem la considerarea inegalităților exponențiale mai complexe.

Bibliografie

Mordkovich A. G. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Gutarda. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu et algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Iluminismul.

Matematică. md. Matematică-repetiție. com. Diffur. kemsu. ru.

Teme pentru acasă

1. Algebra și începuturile analizei, clasele 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr. 472, 473;

2. Rezolvați inegalitatea:

3. Rezolvați inegalitatea.

Rezolvarea majorității problemelor matematice într-un fel sau altul implică transformarea expresiilor numerice, algebrice sau funcționale. Cele de mai sus se aplică în special deciziei. În versiunile examenului unificat de stat la matematică, acest tip de problemă include, în special, sarcina C3. Învățarea rezolvării sarcinilor C3 este importantă nu numai în scopul promovării cu succes a examenului de stat unificat, ci și pentru motivul că această abilitate va fi utilă atunci când studiezi un curs de matematică în liceu.

Când finalizați sarcinile C3, trebuie să rezolvați diferite tipuri de ecuații și inegalități. Printre acestea se numără raționale, iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice, care conțin module (valori absolute), precum și combinate. Acest articol discută principalele tipuri de ecuații exponențiale și inegalități, precum și diferite metode de rezolvare a acestora. Citiți despre rezolvarea altor tipuri de ecuații și inegalități în secțiunea „” din articolele dedicate metodelor de rezolvare a problemelor C3 de la Examenul de stat unificat la matematică.

Înainte de a începe să analizăm specific ecuații exponențiale și inegalități, în calitate de tutore de matematică, vă sugerez să periați un material teoretic de care vom avea nevoie.

Functie exponentiala

Ce este o funcție exponențială?

Funcția formei y = un x, Unde A> 0 și A≠ 1 este numit functie exponentiala.

De bază proprietățile funcției exponențiale y = un x:

Graficul unei funcții exponențiale

Graficul funcției exponențiale este exponent:

Grafice ale funcțiilor exponențiale (exponenți)

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale

Indicativ se numesc ecuatii in care variabila necunoscuta se gaseste numai in exponenti ai unor puteri.

Pentru solutii ecuații exponențiale trebuie să cunoașteți și să puteți utiliza următoarea teoremă simplă:

Teorema 1. Ecuație exponențială A f(X) = A g(X) (Unde A > 0, A≠ 1) este echivalentă cu ecuația f(X) = g(X).

În plus, este util să ne amintim formulele și operațiile de bază cu grade:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Exemplul 1. Rezolvați ecuația:

Soluţie: Folosim formulele de mai sus și înlocuirea:

Ecuația devine atunci:

Discriminantul ecuației patratice rezultate este pozitiv:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Aceasta înseamnă că această ecuație are două rădăcini. Le gasim:

Trecând la înlocuirea inversă, obținem:

A doua ecuație nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială este strict pozitivă în întregul domeniu de definiție. Să o rezolvăm pe a doua:

Ținând cont de cele spuse în teorema 1, trecem la ecuația echivalentă: X= 3. Acesta va fi răspunsul la sarcină.

Răspuns: X = 3.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația:

Soluţie: Ecuația nu are restricții în domeniul valorilor permise, deoarece expresia radicală are sens pentru orice valoare X(functie exponentiala y = 9 4 -X pozitiv și nu egal cu zero).

Rezolvăm ecuația prin transformări echivalente folosind regulile de înmulțire și împărțire a puterilor:

Ultima tranziție a fost efectuată în conformitate cu teorema 1.

Răspuns:X= 6.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația:

Soluţie: ambele părți ale ecuației inițiale pot fi împărțite la 0,2 X. Această tranziție va fi echivalentă, deoarece această expresie este mai mare decât zero pentru orice valoare X(funcția exponențială este strict pozitivă în domeniul său de definire). Atunci ecuația ia forma:

Răspuns: X = 0.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația:

Soluţie: simplificăm ecuația la una elementară prin transformări echivalente folosind regulile de împărțire și înmulțire a puterilor date la începutul articolului:

Împărțirea ambelor părți ale ecuației la 4 X, ca în exemplul anterior, este o transformare echivalentă, deoarece această expresie nu este egală cu zero pentru nicio valoare X.

Răspuns: X = 0.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația:

Soluţie: funcţie y = 3X, aflat în partea stângă a ecuației, este în creștere. Funcţie y = —X-2/3 din partea dreaptă a ecuației este în scădere. Aceasta înseamnă că dacă graficele acestor funcții se intersectează, atunci cel mult un punct. În acest caz, este ușor de ghicit că graficele se intersectează în punctul respectiv X= -1. Nu vor exista alte rădăcini.

Răspuns: X = -1.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația:

Soluţie: simplificăm ecuația prin transformări echivalente, ținând cont peste tot că funcția exponențială este strict mai mare decât zero pentru orice valoare Xși folosind regulile de calcul a produsului și a coeficientului de puteri date la începutul articolului:

Răspuns: X = 2.

Rezolvarea inegalităților exponențiale

Indicativ se numesc inegalităţi în care variabila necunoscută este cuprinsă numai în exponenţii unor puteri.

Pentru solutii inegalități exponențiale este necesară cunoașterea următoarei teoreme:

Teorema 2. Dacă A> 1, apoi inegalitatea A f(X) > A g(X) este echivalentă cu o inegalitate de același sens: f(X) > g(X). Daca 0< A < 1, то показательное неравенство A f(X) > A g(X) este echivalent cu o inegalitate cu sens invers: f(X) < g(X).

Exemplul 7. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie: Să prezentăm inegalitatea inițială sub forma:

Să împărțim ambele părți ale acestei inegalități la 3 2 X, în acest caz (datorită pozitivității funcției y= 3 2X) semnul inegalității nu se va schimba:

Să folosim înlocuirea:

Atunci inegalitatea va lua forma:

Deci, soluția inegalității este intervalul:

Trecând la substituția inversă, obținem:

Datorită pozitivității funcției exponențiale, inegalitatea din stânga este satisfăcută automat. Folosind proprietatea binecunoscută a logaritmului, trecem la inegalitatea echivalentă:

Deoarece baza gradului este un număr mai mare decât unu, echivalentul (prin teorema 2) este trecerea la următoarea inegalitate:

Deci, în sfârșit, obținem Răspuns:

Exemplul 8. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie: Folosind proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor, rescriem inegalitatea sub forma:

Să introducem o nouă variabilă:

Ținând cont de această substituție, inegalitatea ia forma:

Înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu 7, obținem următoarea inegalitate echivalentă:

Deci, următoarele valori ale variabilei satisfac inegalitatea t:

Apoi, trecând la substituția inversă, obținem:

Deoarece baza gradului aici este mai mare decât unu, trecerea la inegalitate va fi echivalentă (prin teorema 2):

În sfârșit, obținem Răspuns:

Exemplul 9. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie:

Împărțim ambele părți ale inegalității prin expresia:

Este întotdeauna mai mare decât zero (datorită pozitivității funcției exponențiale), deci nu este nevoie să schimbați semnul inegalității. Primim:

t situat în intervalul:

Trecând la substituția inversă, aflăm că inegalitatea inițială se împarte în două cazuri:

Prima inegalitate nu are soluții datorită pozitivității funcției exponențiale. Să o rezolvăm pe a doua:

Exemplul 10. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie:

Ramuri de parabolă y = 2X+2-X 2 sunt îndreptate în jos, de aceea este limitată de sus de valoarea pe care o atinge la vârful său:

Ramuri de parabolă y = X 2 -2X+2 din indicator sunt îndreptați în sus, ceea ce înseamnă că este limitat de jos de valoarea pe care o atinge la vârful său:

În același timp, funcția se dovedește a fi mărginită de jos y = 3 X 2 -2X+2, care se află în partea dreaptă a ecuației. Ea atinge cea mai mică valoare în același punct cu parabola din exponent, iar această valoare este 3 1 = 3. Deci, inegalitatea inițială poate fi adevărată numai dacă funcția din stânga și funcția din dreapta iau valoarea , egal cu 3 (intersecția intervalelor de valori ale acestor funcții este doar acest număr). Această condiție este îndeplinită într-un singur punct X = 1.

Răspuns: X= 1.

Pentru a învăța să decidă ecuații exponențiale și inegalități, este necesar să ne antrenăm constant în rezolvarea lor. Diverse materiale didactice, cărți de probleme la matematică elementară, culegeri de probleme competitive, cursuri de matematică la școală, precum și lecții individuale cu un tutore profesionist vă pot ajuta în această sarcină dificilă. Vă doresc din suflet succes în pregătirea dumneavoastră și rezultate excelente la examen.

Serghei Valerievici

P.S. Dragi invitati! Vă rugăm să nu scrieți solicitări pentru a vă rezolva ecuațiile în comentarii. Din păcate, nu am absolut timp pentru asta. Astfel de mesaje vor fi șterse. Vă rugăm să citiți articolul. Poate că în ea veți găsi răspunsuri la întrebări care nu v-au permis să vă rezolvați singur sarcina.

Rezolvarea inegalităților. Există diferite tipuri de inegalități și necesită abordări diferite pentru a le rezolva. Dacă nu doriți să petreceți timp și efort rezolvând inegalitățile sau rezolvați singur inegalitatea și doriți să verificați dacă ați primit răspunsul corect, atunci vă sugerăm să rezolvați inegalitățile online și să utilizați serviciul nostru Math24.su pentru aceasta. Rezolvă atât inegalitățile liniare, cât și cele pătratice, inclusiv inegalitățile iraționale și fracționale. Asigurați-vă că introduceți ambele părți ale inegalității în câmpurile corespunzătoare și selectați semnul de inegalitate dintre ele, apoi faceți clic pe butonul „Soluție”. Pentru a demonstra modul în care serviciul implementează soluția inegalităților, puteți vizualiza diferite tipuri de exemple și soluțiile acestora (selectate în dreapta butonului „Rezolvare”). Serviciul oferă atât intervale de soluție, cât și valori întregi. Utilizatorii care vin pentru prima dată pe Math24.su admiră viteza mare a serviciului, deoarece poți rezolva inegalitățile online în câteva secunde și poți folosi serviciul absolut gratuit de un număr nelimitat de ori. Lucrarea serviciului este automatizată; calculele sunt efectuate de un program, nu de o persoană. Nu trebuie să instalați niciun software pe computer, să vă înregistrați, să introduceți date personale sau e-mail. De asemenea, sunt excluse greșelile de tipar și erorile de calcul; rezultatul obținut poate fi de încredere 100%. Avantajele rezolvării inegalităților online. Datorită vitezei mari și ușurinței de utilizare, serviciul Math24.su a devenit un asistent de încredere pentru mulți școlari și elevi. Inegalitățile se regăsesc adesea în programele școlare și în cursurile de institut de matematică superioară, iar cei care folosesc serviciul nostru online primesc mari avantaje față de ceilalți. Math24.su este disponibil non-stop, nu necesită înregistrare sau taxe pentru utilizare și este, de asemenea, multilingv. Serviciul online nu trebuie neglijat de cei care caută singuri soluții la inegalități. La urma urmei, Math24.su este o oportunitate excelentă de a verifica corectitudinea calculelor tale, de a afla unde a fost făcută greșeala și de a vedea cum sunt rezolvate diferite tipuri de inegalități. Un alt motiv pentru care va fi mai eficient să rezolvi inegalitățile online este atunci când rezolvarea inegalităților nu este sarcina principală, ci doar o parte a acesteia. În acest caz, pur și simplu nu are rost să cheltuiți mult timp și efort pe calcule și este mai bine să-l încredințați unui serviciu online, în timp ce vă concentrați pe rezolvarea problemei principale. După cum puteți vedea, serviciul online de rezolvare a inegalităților va fi util atât pentru cei care rezolvă independent acest tip de probleme matematice, cât și pentru cei care nu vor să piardă timp și efort în calcule îndelungate, dar au nevoie să obțină rapid un răspuns. Prin urmare, atunci când întâlniți inegalități, nu uitați să folosiți serviciul nostru pentru a rezolva orice inegalități online: liniare, pătratice, iraționale, trigonometrice, logaritmice. Ce sunt inegalitățile și cum sunt ele desemnate. Inegalitatea este reversul egalității și, ca concept, este asociată cu compararea a două obiecte. În funcție de caracteristicile obiectelor comparate, spunem mai înalt, mai jos, mai scurt, mai lung, mai gros, mai subțire etc. În matematică, sensul inegalităților nu se pierde, dar aici vorbim despre inegalități ale obiectelor matematice: numere, expresii, valori ale cantităților, cifre etc. Se obișnuiește să se folosească mai multe semne de inegalitate: , ≤, ≥. Expresiile matematice cu astfel de semne se numesc inegalități. Semnul > (mai mare decât) este plasat între obiecte mai mari și mai mici. Semnul denotă inegalități stricte. Inegalitățile nestricte descriu situația în care o expresie este „nu mai mult” (“nu mai puțin”) decât alta. „Nu mai mult” înseamnă mai puțin sau același lucru, iar „nu mai puțin” înseamnă mai mult sau același lucru.

Aplicație

Rezolvarea inegalităților online pe Math24.biz pentru elevi și școlari pentru a consolida materialul pe care l-au acoperit. Și să-ți antrenezi abilitățile practice. Inegalitatea în matematică este o afirmație despre dimensiunea sau ordinea relativă a două obiecte (unul dintre obiecte este mai mic sau nu mai mare decât celălalt) sau că două obiecte nu sunt la fel (negarea egalității). În matematica elementară, inegalitățile numerice sunt studiate în algebră generală, analiză și geometrie, sunt luate în considerare și inegalitățile dintre obiecte de natură nenumerică. Pentru a rezolva o inegalitate, ambele părți ale acesteia trebuie determinate cu unul dintre semnele de inegalitate dintre ele. Inegalitățile stricte implică inegalitatea între două obiecte. Spre deosebire de inegalitățile stricte, inegalitățile nestricte permit egalitatea obiectelor incluse în el. Inegalitățile liniare sunt cele mai simple expresii pentru început, iar cele mai simple tehnici sunt folosite pentru a rezolva astfel de inegalități. Principala greșeală pe care o fac studenții atunci când rezolvă inegalitățile online este că nu fac distincția între trăsăturile inegalităților stricte și non-strictive, ceea ce determină dacă valorile limită vor fi incluse sau nu în răspunsul final. Mai multe inegalități interconectate prin mai multe necunoscute sunt numite sistem de inegalități. Soluția la inegalitățile din sistem este o anumită zonă pe un plan sau o figură tridimensională în spațiul tridimensional. Împreună cu aceasta, ele sunt abstrase de spații n-dimensionale, dar atunci când se rezolvă astfel de inegalități este adesea imposibil să se facă fără calculatoare speciale. Pentru fiecare inegalitate separat, trebuie să găsiți valorile necunoscutului la limitele zonei soluției. Setul tuturor soluțiilor la inegalitate este răspunsul său. Înlocuirea unei inegalități cu o altă inegalitate echivalentă cu aceasta se numește tranziție echivalentă de la o inegalitate la alta. O abordare similară se găsește în alte discipline, deoarece ajută la aducerea expresiilor într-o formă standard. Veți aprecia toate beneficiile rezolvării inegalităților online pe site-ul nostru. O inegalitate este o expresie care conține unul dintre semnele =>. În esență, aceasta este o expresie logică. Poate fi adevărat sau fals - în funcție de ceea ce este la dreapta și la stânga în această inegalitate. O explicație a semnificației inegalităților și tehnicile de bază pentru rezolvarea inegalităților sunt studiate în diferite cursuri, precum și la școală. Rezolvarea oricăror inegalități online - inegalități cu modul, inegalități algebrice, trigonometrice, transcendentale online. Inegalitățile identice, precum inegalitățile stricte și non-strictive, simplifică procesul de obținere a rezultatului final și sunt un instrument auxiliar pentru rezolvarea problemei. Soluția oricăror inegalități și sisteme de inegalități, fie ele logaritmice, exponențiale, trigonometrice sau pătratice, este asigurată printr-o abordare inițial corectă a acestui proces important. Rezolvarea inegalităților online pe site este întotdeauna disponibilă tuturor utilizatorilor și absolut gratuită. Soluțiile la o inegalitate dintr-o variabilă sunt valorile variabilei care o convertesc într-o expresie numerică corectă. Ecuații și inegalități cu modul: modulul unui număr real este valoarea absolută a acelui număr. Metoda standard pentru rezolvarea acestor inegalități este de a ridica ambele părți ale inegalității la puterea dorită. Inegalitățile sunt expresii care indică compararea numerelor, astfel încât rezolvarea corectă a inegalităților asigură acuratețea unor astfel de comparații. Ele pot fi stricte (mai mari decât, mai mici decât) și non-stricte (mai mari sau egale cu, mai mici decât sau egale cu). A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi toate acele valori ale variabilelor care, atunci când sunt substituite în expresia originală, o transformă în reprezentarea numerică corectă Conceptul de inegalitate, esența și caracteristicile sale, clasificarea și varietăți - aceasta este ceea ce determină specificul acestei secțiuni matematice. Proprietățile de bază ale inegalităților numerice, aplicabile tuturor obiectelor acestei clase, trebuie studiate de către elevi în stadiul inițial de familiarizare cu această temă. Inegalitățile și intervalele liniilor numerice sunt foarte strâns legate atunci când vine vorba de rezolvarea inegalităților online. Desemnarea grafică a soluției unei inegalități arată în mod clar esența unei astfel de expresii, devine clar spre ce ar trebui să se străduiască atunci când se rezolvă orice problemă. Conceptul de inegalitate presupune compararea a două sau mai multe obiecte. Inegalitățile care conțin o variabilă sunt rezolvate ca ecuații compuse similar, după care se face o selecție de intervale care vor fi luate drept răspuns. Puteți rezolva cu ușurință și instantaneu orice inegalități algebrice, inegalități trigonometrice sau inegalități care conțin funcții transcendentale folosind serviciul nostru gratuit. Un număr este o soluție la o inegalitate dacă, la înlocuirea acestui număr în loc de o variabilă, obținem expresia corectă, adică semnul inegalității arată conceptul adevărat. Rezolvarea inegalităților online pe site în fiecare zi pentru ca elevii să studieze complet materialul acoperit și să-și consolideze abilitățile practice. Adesea, tema inegalității online în matematică este studiată de școlari după completarea secțiunii de ecuații. După cum era de așteptat, toate principiile soluției sunt aplicate pentru a determina intervalele de soluție. Găsirea unui răspuns în formă analitică poate fi mai dificilă decât a face același lucru în formă numerică. Cu toate acestea, această abordare oferă o imagine mai clară și mai completă a integrității soluției la inegalitate. Poate apărea dificultăți în etapa de construire a liniei de abscisă și de trasare a punctelor de soluție pentru o ecuație similară. După aceasta, rezolvarea inegalităților se reduce la determinarea semnului funcției pe fiecare interval identificat pentru a determina creșterea sau scăderea funcției. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți alternativ valorile conținute în fiecare interval în funcția originală și să verificați valoarea acesteia pentru pozitivitate sau negativitate. Aceasta este esența găsirii tuturor soluțiilor, inclusiv a intervalelor de soluție. Când rezolvați singur inegalitatea și vedeți toate intervalele cu soluții, veți înțelege cât de aplicabilă este această abordare pentru acțiunile ulterioare. Site-ul web vă invită să verificați de două ori rezultatele calculelor folosind un calculator modern puternic de pe această pagină. Puteți identifica cu ușurință inexactitățile și deficiențele în calcule folosind un solutor unic de inegalități. Elevii se întreabă adesea unde să găsească o resursă atât de utilă? Datorită unei abordări inovatoare a capacității de a determina nevoile inginerilor, calculatorul este creat pe baza unor servere de calcul puternice, folosind doar tehnologii noi. În esență, rezolvarea inegalităților online implică rezolvarea unei ecuații și calcularea tuturor rădăcinilor posibile. Soluțiile rezultate sunt marcate pe linie, apoi se efectuează o operație standard pentru a determina valoarea funcției pe fiecare interval. Dar ce să faci dacă rădăcinile ecuației se dovedesc a fi complexe, cum poți rezolva în acest caz inegalitatea în formă completă, care ar satisface toate regulile de scriere a rezultatului? Răspunsul la aceasta și la multe alte întrebări poate fi răspuns cu ușurință pe site-ul nostru de servicii, pentru care nimic nu este imposibil în rezolvarea problemelor matematice online. În favoarea celor de mai sus, adăugăm următoarele: oricine se angajează serios în studierea unei discipline precum matematica este obligat să studieze tema inegalităților. Există diferite tipuri de inegalități, iar rezolvarea inegalităților online nu este uneori ușor de făcut, deoarece trebuie să cunoașteți principiile abordărilor pentru fiecare dintre ele. Aceasta este baza succesului și stabilității. De exemplu, putem lua în considerare tipuri precum inegalitățile logaritmice sau inegalitățile transcendentale. Acesta este, în general, un tip special de astfel de sarcini dificile, la prima vedere, pentru elevi, în special pentru școlari. Profesorii din institut dedică mult timp formării cursanților pentru a dobândi abilități profesionale în munca lor. Includem inegalitățile trigonometrice între aceleași tipuri și denotăm o abordare generală pentru rezolvarea multor exemple practice dintr-o problemă pusă. În unele cazuri, mai întâi trebuie să reduceți totul la o ecuație, să o simplificați, să o descompuneți în diferiți factori, pe scurt, să o aduceți într-o formă complet clară. În orice moment, omenirea s-a străduit să găsească abordarea optimă în orice demers. Datorită tehnologiilor moderne, omenirea a făcut un progres uriaș în dezvoltarea sa viitoare. Inovațiile se revarsă în viața noastră din ce în ce mai des, zi de zi. Baza tehnologiei informatice a fost, desigur, matematica cu propriile sale principii și abordarea strictă a afacerilor. site-ul este o resursă matematică generală care include un calculator de inegalități dezvoltat și multe alte servicii utile. Foloseste site-ul nostru si vei avea incredere in corectitudinea problemelor rezolvate. Din teorie se știe că obiectele de natură nenumerică sunt studiate și folosind inegalitățile online, doar că această abordare este o modalitate specială de a studia această secțiune în algebră, geometrie și alte domenii ale matematicii. Inegalitățile pot fi rezolvate în diferite moduri; verificarea finală a soluțiilor rămâne neschimbată, iar acest lucru se face cel mai bine prin înlocuirea directă a valorilor în inegalitatea în sine. În multe cazuri, răspunsul dat este evident și ușor de verificat mental. Să presupunem că ni se cere să rezolvăm o inegalitate fracțională în care variabilele dorite sunt prezente în numitorii expresiilor fracționale. Apoi, rezolvarea inegalităților se va reduce la aducerea tuturor termenilor la un numitor comun, după ce mai întâi a mutat totul în partea stângă și în dreapta inegalității. În continuare, trebuie să rezolvați ecuația omogenă obținută la numitorul fracției. Aceste rădăcini numerice vor fi puncte neincluse în intervalele soluției generale a inegalității, sau se mai numesc și puncte perforate la care funcția merge la infinit, adică funcția nu este definită, dar nu poți obține decât limita ei. valoare la un punct dat. După ce am rezolvat ecuația obținută la numărător, trasăm toate punctele pe axa numerelor. Să umbrim acele puncte în care numărătorul fracției devine zero. În consecință, lăsăm toate celelalte puncte goale sau străpunse. Să găsim semnul fracției pe fiecare interval și apoi să notăm răspunsul final. Dacă există puncte umbrite pe limitele intervalului, atunci includem aceste valori în soluție. Dacă există puncte perforate la limitele intervalului, nu includem aceste valori în soluție. După ce rezolvați inegalitatea, va trebui să vă verificați rezultatul. Puteți face acest lucru manual, înlocuiți fiecare valoare din intervalele de răspuns una câte una în expresia inițială și identificați erorile. Site-ul web vă va oferi cu ușurință toate soluțiile la inegalitate și veți compara imediat răspunsurile primite cu calculatorul. Dacă, totuși, apare o eroare, atunci rezolvarea inegalităților online pe resursa noastră vă va fi foarte utilă. Recomandăm ca toți elevii să înceapă mai întâi să nu rezolve inegalitatea direct, ci mai întâi să obțină rezultatul pe site, pentru că în viitor va fi mult mai ușor să faci singur calculul corect. În problemele cu cuvinte, soluția se rezumă aproape întotdeauna la alcătuirea unui sistem de inegalități cu mai multe necunoscute. Resursa noastră vă va ajuta să rezolvați inegalitatea online în câteva secunde. În acest caz, soluția va fi produsă de un program de calcul puternic, cu o precizie ridicată și fără erori în răspunsul final. Astfel, puteți economisi o cantitate imensă de timp rezolvând exemple cu acest calculator. Într-o serie de cazuri, școlarii întâmpină dificultăți atunci când întâmpină inegalități logaritmice în practică sau în munca de laborator și chiar mai rău atunci când văd inegalități trigonometrice cu expresii fracționale complexe cu sinusuri, cosinus sau chiar funcții trigonometrice inverse. Orice s-ar putea spune, va fi foarte dificil să faci față fără ajutorul unui calculator de inegalități și erorile sunt posibile în orice stadiu al rezolvării problemei. Utilizați resursa site-ului complet gratuit, este disponibilă pentru fiecare utilizator în fiecare zi. Este o idee foarte bună să începeți să folosiți serviciul nostru de asistent, deoarece există multe analoge, dar există doar câteva servicii cu adevărat de înaltă calitate. Garantăm acuratețea calculelor atunci când căutarea unui răspuns durează câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să notați inegalitățile online, iar noi, la rândul nostru, vă vom oferi imediat rezultatul exact al rezolvării inegalității. Căutarea unei astfel de resurse poate fi un exercițiu inutil, deoarece este puțin probabil să găsiți același serviciu de înaltă calitate ca al nostru. Vă puteți descurca fără teorie despre rezolvarea inegalităților online, dar nu puteți face fără un calculator rapid și de înaltă calitate. Vă dorim succes la studii! Alegerea cu adevărat a soluției optime pentru o inegalitate online implică adesea o abordare logică a unei variabile aleatorii. Dacă neglijăm abaterea mică a câmpului închis, atunci vectorul valorii crescătoare este proporțional cu cea mai mică valoare din intervalul de ordonată descrescătoare. Invariantul este proporțional cu de două ori funcțiile mapate împreună cu vectorul de ieșire diferit de zero. Cel mai bun răspuns conține întotdeauna acuratețea calculului. Soluția noastră la inegalități va lua forma unei funcții omogene de submulțimi numerice conjugate succesiv ale direcției principale. Pentru primul interval, vom lua exact valoarea cu cea mai slabă acuratețe a reprezentării variabilei. Să calculăm expresia anterioară pentru abaterea maximă. Vom folosi serviciul la discreția opțiunilor propuse, după cum este necesar. Dacă o soluție la inegalități va fi găsită online folosind un calculator bun în clasa sa este o întrebare retorică, desigur, elevii vor beneficia doar de un astfel de instrument și vor aduce un mare succes la matematică; Să impunem o restricție asupra zonei cu o mulțime, pe care o vom reduce la elemente cu percepția impulsurilor de tensiune. Valorile fizice ale unor astfel de extreme descriu matematic creșterea și scăderea funcțiilor continue pe bucăți. Pe parcurs, oamenii de știință au găsit dovezi ale existenței elementelor la diferite niveluri de studiu. Să aranjam toate subseturile succesive ale unui spațiu complex pe un rând cu obiecte precum o minge, un cub sau un cilindru. Din rezultatul nostru putem trage o concluzie lipsită de ambiguitate, iar atunci când rezolvați inegalitatea, rezultatul va face cu siguranță lumină asupra ipotezei matematice declarate despre integrarea metodei în practică. În starea actuală a lucrurilor, o condiție necesară va fi și o condiție suficientă. Criteriile de incertitudine provoacă adesea dezacord în rândul studenților din cauza datelor nesigure. Cadrele didactice universitare, precum și cadrele didactice din școală, trebuie să își asume responsabilitatea pentru această omisiune, deoarece la etapa inițială a educației este necesar să se țină seama și de acest lucru. Din concluzia de mai sus, în opinia oamenilor cu experiență, putem concluziona că rezolvarea unei inegalități online este o sarcină foarte dificilă atunci când intră într-o inegalitate de necunoscute ale diferitelor tipuri de date. Acest lucru a fost afirmat la o conferință științifică din districtul de vest, la care au fost prezentate o varietate de justificări cu privire la descoperirile științifice din domeniile matematicii și fizicii, precum și analiza moleculară a sistemelor construite biologic. În găsirea soluției optime, absolut toate inegalitățile logaritmice au valoare științifică pentru întreaga umanitate. Să examinăm această abordare pentru concluzii logice bazate pe o serie de discrepanțe la cel mai înalt nivel de concepte despre un obiect existent. Logica dictează ceva diferit de ceea ce pare la prima vedere unui student fără experiență. Datorită apariției analogiilor la scară largă, va fi rațional să echivalăm mai întâi relațiile cu diferența dintre obiectele zonei studiate, iar apoi să arătăm în practică prezența unui rezultat analitic comun. Rezolvarea inegalităților depinde absolut de aplicarea teoriei și va fi important pentru toată lumea să studieze această ramură a matematicii, care este necesară pentru cercetări ulterioare. Cu toate acestea, atunci când rezolvați inegalitățile, trebuie să găsiți toate rădăcinile ecuației compilate și abia apoi să trasați toate punctele pe axa ordonatelor. Unele puncte vor fi perforate, iar restul vor fi incluse în intervale cu o soluție generală. Să începem studiul secțiunii de matematică cu elementele de bază ale celei mai importante discipline din programa școlară. Dacă inegalitățile trigonometrice sunt parte integrantă a unei probleme de cuvinte, atunci este pur și simplu necesară utilizarea resursei pentru a calcula răspunsul. Introduceți corect părțile stânga și dreaptă ale inegalității, apăsați butonul și obțineți rezultatul în câteva secunde. Pentru calcule matematice rapide și precise cu coeficienți numerici sau simbolici în fața necunoscutelor, veți avea nevoie, ca întotdeauna, de un calculator universal de inecuații și ecuații care vă poate oferi răspunsul la problema dvs. în câteva secunde. Dacă nu ai timp să scrii o serie întreagă de exerciții scrise, atunci valabilitatea serviciului este de netăgăduit chiar și cu ochiul liber. Pentru elevi, această abordare este mai optimă și mai justificată în ceea ce privește economisirea resurselor materiale și a timpului. Vizavi de picior se află un unghi, iar pentru a-l măsura ai nevoie de o busolă, dar poți folosi indicii oricând și rezolvi inegalitatea fără a folosi formule de reducere. Înseamnă aceasta finalizarea cu succes a acțiunii începute? Răspunsul va fi cu siguranță pozitiv.