Sistemele numerice sunt moduri de scriere a numerelor într-o formă convenabilă pentru citirea și efectuarea operațiilor aritmetice.
Deja în epoca paleolitică, oamenii căutau să grupeze punctele, dungile și crestăturile în 3, 4, 5 sau 7. O astfel de grupare a făcut numărarea mai ușoară. În antichitate, oamenii numărau pe degete, așa că obiectele au început să fie grupate cu 5 sau 10. Mai târziu, zece zeci au primit un nume special, zece sute și-au primit propriul nume. Pentru ușurința înregistrării, numerele au început să fie desemnate cu semne speciale. Deoarece poziția semnului nu joacă un rol într-o astfel de notație, astfel de sisteme de numere au început să fie numite nonpoziționale. Sistemele de numere non-poziționale au fost folosite de vechii egipteni, greci și romani. Sistemele numerice nepoziționale erau mai mult sau mai puțin potrivite pentru efectuarea operațiilor de adunare și scădere, dar deloc convenabile pentru înmulțire și împărțire.
Pentru a ușura munca, au folosit table de numărat - abaci.
Sisteme numerice poziționale. Sistem de numere zecimale
În sistemele de numere poziționale, același semn numeric (cifră) în notația unui număr are semnificații diferite în funcție de locul (cifră) în care se află.
Babilonienii au trecut la sistemul sexagesimal pozițional. Multă vreme, sistemul de numărare babilonian nu a avut un zero, adică un semn pentru o cifră lipsă. La început, acest lucru nu a creat niciun inconvenient, dar când au început să fie compilate tabele matematice și astronomice extinse, a apărut necesitatea unui astfel de semn. Urmele sistemului numeric babilonian au supraviețuit până astăzi în ordinea numărării timpului (1 oră = 60 de minute, 1 minut = 60 de secunde).
În secolul V1. , mai precis în 595. Indienii au creat o metodă de înregistrare care folosește doar 9 cifre. În loc de zero, a fost lăsat un spațiu gol, iar mai târziu a fost adăugat un punct sau un cerc mic. Un semn special pentru zero a apărut în secolul I. au fost dezvoltate reguli pentru efectuarea de operații aritmetice asupra numerelor din sistemul numeric zecimal, care nu necesita utilizarea abacului, iar această metodă de înregistrare s-a răspândit în întreaga lume. Matematicianul din Asia Centrală al-Khorezmi a vorbit în detaliu despre sistemul numeric zecimal. De când și-a scris lucrarea în arabă, sistemul din Europa a primit un nume greșit - „araba”.
Sisteme poziționale cu o bază arbitrară.
Suntem obișnuiți cu sistemul numeric zecimal. Sistemul binar este cea mai bună alegere pentru un computer. Dar uneori sistemele cu alte baze pot fi convenabile. Numărarea cu zeci este un exemplu excelent în acest sens. Aici baza numerelor este puterile lui 12.
În cazul general, a reprezenta un număr arbitrar N într-un sistem numeric cu o bază dată d înseamnă a-l scrie sub forma în care d este orice număr întreg mai mare decât unu. Coeficienții a0, a1, an se numesc numere în notația dată N. Ei pot lua doar d valori: 0, sau 1, sau 2, sau d-1. Rețineți că în cazul lui d > 10, va trebui să venim cu simboluri noi pentru numere.
Pentru a găsi cifrele unui număr dat unui număr dat N și baza d, puteți utiliza următoarea metodă: mai întâi, găsiți cel mai mare număr de bază care nu depășește N. Apoi numărul N este împărțit la d, rezultând câtul parțial an și restul r n-1, adică de ex.
Restul r n-1 este deja mai mic decât numărul de bază, așa că împărțiți r n-1 la d! Și obținem câtul incomplet an-1 și restul r n-2:
În practică, determinarea cifrelor date ale lui N pornind de la cea mai mare cifră nu este foarte convenabilă. În acest scop, se folosește de obicei o altă metodă. Să reprezentăm numărul N ca o expresie care nu conține puteri:
Aceasta arată că numerele an-1, a1 a0 pot fi găsite secvenţial, pornind de la cifra cea mai puţin semnificativă, ca urmare a următorului proces în mai multe etape: a0 este egal cu restul împărţirii lui N la d; a1 este egal cu restul împărțirii cu d a coeficientului incomplet obținut în etapa anterioară; an este egal cu restul împărțirii cu d a coeficientului incomplet obținut în pasul precedent.
Acea. Că numărul N din sistemul numeric d-ary este exprimat prin numerele an-1, a1 a0, se scrie după cum urmează:
De exemplu: 26700 = (110100001001100)2 = (1323300)5.
Un număr rațional pozitiv (fracție pozitivă obișnuită) este un număr care poate fi scris sub forma
Unde p, q sunt numere naturale. Numărul p se numește numărător al fracției, iar numărul q este numitorul acesteia.
Știm că o fracție nu se va schimba dacă numărătorul și numitorul ei sunt înmulțiți cu același număr natural n; cu alte cuvinte, pentru orice număr natural n egalitatea este adevărată
Dacă numerele p și q nu au factori primi comuni, atunci fracția se numește ireductibilă sau proprie.
Dacă numitorul q al unei fracții este 10 sau 100 sau 1000 etc., atunci fracția comună poate fi scrisă ca o fracție zecimală finită, fiecare dintre acestea fiind numită expansiune zecimală a fracției comune corespunzătoare.
De asemenea, este evident că orice fracție zecimală finită poate fi scrisă ca o fracție obișnuită, unde p este un număr natural și q este o putere a lui 10.
Dacă numitorul q al unei fracții comune este o putere de 10, atunci această fracție poate fi rezolvată într-o fracție zecimală finală. Este adevărat și invers: o fracție zecimală finală este expansiunea zecimală a unei fracții obișnuite al cărei numitor este o putere a lui 10.
Sistem de numere octale
Sistemul de numere octale este un sistem de numere întregi pozițional cu baza 8. Folosește numerele de la 0 la 7 pentru a reprezenta numere.
Sistemul octal este adesea folosit în domenii legate de dispozitivele digitale. Se caracterizează prin conversia ușoară a numerelor octale în binare și invers, prin înlocuirea numerelor octale cu triade binare. Anterior, a fost utilizat pe scară largă în programare și în documentația computerizată în general, dar acum a fost aproape complet înlocuit cu hexazecimal.
Dacă ne referim la sistemul de numere octale, asta înseamnă că putem folosi mult mai multe cifre decât se obișnuiește în binar, dar mai puține decât în zecimal, și anume, putem opera cu opt cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7 - și nu mai mult.
Logica de conversie a numerelor zecimale în octal (codificarea în sistemul de numere octale) este complet identică cu cea de mai sus.
Informații mai detaliate sunt în secțiune. „Scrierea numerelor întregi în sistemul de numere binar” din acest capitol.
Într-adevăr, la un moment dat cifrele se epuizează (începe „criza perioadei de tranziție”).
Numărul zecimal „8” devine numărul octal „10” (“zece octal”). Numărul „9” va fi numărul octal „11”, numărul „10” va fi numărul octal „12”. Și așa mai departe până la numărul zecimal „15”, care în formă octală este egal cu numărul „17”. Deci, ce urmează?
Cifrele s-au epuizat din nou. Cum va fi reprezentat numărul zecimal „16” în sistemul de numere octale?
178 + 1 =. , dar suma „78 + 1” este egală cu „10” în sistemul de numere octale și, prin urmare, „zece” octal trebuie adăugat cu „zece” deja disponibile, adică suma prezentă în sistemul octal. se obține: „1 + 1 = 2”. Rezultatul este că
Să prezentăm aceste informații sub forma unui tabel (Tabelul 4. 4).
Tabelul 4. 4. Corespondența dintre numerele zecimale și octale
Numere zecimale Numere octale Numere zecimale Numere octale
0-7 0-7 25-63 31-77
9-15 11-17 128 200
17-23 21-27 512 1000
Dar chiar și astfel de numere nu sunt încă foarte economice, cel puțin capacitatea lor de cifre nu este inferioară sistemului zecimal, așa că în tehnologia informatică este folosit un alt sistem de numere, care se numește hexazecimal.
Un sistem numeric este un mod specific de a scrie numere și regulile corespunzătoare pentru operarea numerelor.
Sistemele numerice pot fi poziționale sau nepoziționale.
Într-un sistem de numere poziționale, valoarea pe care o reprezintă o cifră într-un număr depinde de poziția cifrei în acel număr. Setul de cifre diferite utilizate în sistemul de numere pozițional pentru a scrie numere se numește alfabetul sistemului de numere. Pentru a reprezenta numere mai mari de 10, utilizați litere latine (A=10, B=11). Baza sistemului numeric este dimensiunea alfabetului. Un număr dintr-un sistem pozițional poate fi reprezentat ca suma produselor cifrelor sale constitutive prin puterile corespunzătoare ale bazei sistemului.
Orice sistem pozițional este introdus după cum urmează. Baza p este un număr întreg și un alfabet de p cifre: O, 1, 2,. , p-1. Atunci orice număr X din acest sistem este reprezentat ca o sumă de produse:
Х = an*рn + an-1*pn-1 + + a0*p0
Aici X este un număr din sistemul cu baza p, având n+1 cifre în partea întreagă - acestea sunt numere din alfabetul sistemului.
Conversia numerelor dintr-un sistem pozițional în altul
Când convertiți numerele din sistemul zecimal în sistemul p-ary, trebuie să descompuneți numărul zecimal în termeni care conțin puteri ale numărului p. Conversia unui număr zecimal întreg se realizează prin împărțirea secvenţială a numărului la baza p, separând resturile de diviziune până când câtul devine mai mic decât divizorul. Scriind resturile de împărțire de la dreapta la stânga, obținem o notație p-bogată pentru un număr zecimal.
În sistemele poziționale, valoarea scrierii unui întreg este determinată de următoarea regulă: fie a na n-1a n-2a 1a 0 scrierea numărului A, iar i sunt cifre, atunci
A = a n·pn+a n-1·pn-1 +a n-2·pn-2+. +a 1·p1+ a0·p0 (1), unde p este un număr întreg mai mare decât 1, care se numește baza sistemului numeric
Pentru ca, pentru un p dat, orice număr întreg nenegativ ar putea fi scris după formula (1) și, în plus, într-un mod unic, valorile numerice ale diferitelor cifre trebuie să fie numere întregi diferite aparținând segmentului din 0 la p-1.
1) Sistem zecimal p = 10 cifre: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 număr 5735 = 5·103+7·102+3·101+8·100
2) Sistem ternar p = 3 cifre: 0,1,2 număr 2013 = 2·32+0·31+1·30
Notă: indicele dintr-un număr indică baza sistemului numeric în care este scris numărul. Pentru sistemul numeric zecimal, indexul nu trebuie scris.
Reprezentarea numerelor negative și fracționale:
În toate sistemele poziționale, semnul „–” este folosit pentru a scrie numere negative, la fel ca în sistemul zecimal. O virgulă este folosită pentru a separa partea întreagă a unui număr de partea fracțională. Valoarea intrării a na n-1a n-2a 1a 0, a -1 a -2a m-2 a m-1a m a numărului A este determinată de formula, care este o generalizare a formulei (1):
A = an pn+a n-1 p n-1+a n-2 p n-2++a1 p1+a0 p0+a-1 p-1+a -2 p-2 ++am-2·p –(m–2)+am–1·p–(m–1)+amp–m (2),
75,6 = 7 101+5 100+6 10–1
–2,3145 = –(2·50+3·5–1+1·5–2+4·5–3)
Conversia numerelor dintr-un sistem de numere arbitrar în zecimal:
Trebuie înțeles că atunci când traduceți un număr dintr-un sistem numeric în altul, valoarea cantitativă a numărului nu se modifică, ci se schimbă doar forma de scriere a numărului, la fel ca atunci când traduceți numele unui număr, de exemplu, din rusă în engleză.
Conversia numerelor dintr-un sistem de numere arbitrar în zecimal se realizează prin calcul direct folosind formula (1) pentru numere întregi și formula (2) pentru fracții.
Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal într-un sistem numeric arbitrar.
Convertirea unui număr din sistemul zecimal într-un sistem cu baza p înseamnă găsirea coeficienților în formula (2). Uneori, acest lucru este ușor de făcut cu o selecție simplă. De exemplu, să presupunem că trebuie să convertiți numărul 23,5 în sistemul octal. Este ușor de observat că 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·81+7·80+4·8–1 = 27,48. Este clar că răspunsul nu este întotdeauna atât de evident. În general, se folosește metoda de conversie separată a părților întregi și fracționale ale unui număr.
Pentru a converti numerele întregi, se folosește următorul algoritm (obținut pe baza formulei (1)):
1. Aflați câtul și restul la împărțirea unui număr la p. Restul va fi următoarea cifră ai (j=0,1,2) a intrării numărului în noul sistem de numere.
2. Dacă câtul este egal cu zero, atunci translația numărului este finalizată, în caz contrar aplicăm punctul 1 câtului.
Notă 1. Cifrele ai din notația numerică sunt numerotate de la dreapta la stânga.
Nota 2. Dacă p>10, atunci este necesar să se introducă notație pentru numere cu valori numerice mai mari sau egale cu 10.
Convertiți numărul 165 în sistemul numeric septal.
165:7 = 23 (restul 4) => a0 = 4
23:7 = 3 (restul 2) => a1 = 2
3:7 = 0 (restul 3) => a2 = 3
Să notăm rezultatul: a2a1a0, adică 3247.
După ce am verificat folosind formula (1), ne vom asigura că traducerea este corectă:
3247=3·72+2·71+4·70=3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.
Pentru a converti părți fracționale ale numerelor, se folosește un algoritm obținut pe baza formulei (2):
1. Înmulțiți partea fracționară a numărului cu p.
2. Partea întreagă a rezultatului va fi următoarea cifră am (m = –1, –2, –3) de scriere a numărului în noul sistem de numere. Dacă partea fracțională a rezultatului este zero, atunci translația numărului este finalizată, altfel îi aplicăm pasul 1.
Nota 1. Cifrele am din notația numerică sunt aranjate de la stânga la dreapta în ordinea crescătoare a valorii absolute a lui m.
Nota 2. De obicei, numărul de cifre fracționale dintr-o nouă intrare de număr este limitat în avans. Acest lucru vă permite să efectuați o traducere aproximativă cu o precizie dată. În cazul fracțiilor infinite, o astfel de restricție asigură caracterul finit al algoritmului.
Convertiți numărul 0,625 în sistemul numeric binar.
0,625 2 = 1,25 (partea întreagă 1) => a-1 =1
0,25 2 = 0,5 (partea întreagă 0) => a-2 = 0
0,5 2 = 1,00 (partea întreagă 1) => a-3 = 1
Deci 0,62510 = 0,1012
După ce am verificat folosind formula (2), ne vom asigura că traducerea este corectă:
0,1012=1·2-1+0·2-2+1·2-3=1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.
Convertiți numărul 0,165 în sistemul numeric cuaternar, limitându-l la patru cifre cuaternare.
0,165 4 = 0,66 (partea întreagă 0) => a-1=0
0,66 4 = 2,64 (partea întreagă 2) => a-2= 2
0,64 4 = 2,56 (partea întreagă 2) => a-3= 2
0,56 4 = 2,24 (partea întreagă 2) => a-4= 2
Deci 0,16510" 0,02224
Să facem o traducere inversă pentru a ne asigura că eroarea absolută nu depășește 4–4:
0,02224 = 0·4-1+2·4-2+2·4-3+2·4-4= 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0,1640625
0,1640625–0,165 = 0,00094
Conversia numerelor dintr-un sistem arbitrar în altul
În acest caz, trebuie mai întâi să convertiți numărul în sistemul zecimal, iar apoi din sistemul zecimal în cel necesar.
O metodă specială este utilizată pentru a converti numere pentru sisteme cu baze multiple.
Fie p și q bazele a două sisteme numerice. Vom numi aceste sisteme sisteme numerice cu baze multiple dacă p = qn sau q = pn, unde n este un număr natural. Deci, de exemplu, sistemele numerice cu bazele 2 și 8 sunt sisteme numerice de bază multiple.
Fie p = qn și trebuie să convertiți un număr dintr-un sistem numeric cu baza q într-un sistem numeric cu baza p. Să împărțim părțile întregi și fracționale ale numărului în grupuri de n cifre scrise succesiv la stânga și la dreapta punctului zecimal. Dacă numărul de cifre din partea întreagă a unui număr nu este un multiplu al lui n, atunci trebuie să adăugați numărul corespunzător de zerouri la stânga. Dacă numărul de cifre din partea fracționară a unui număr nu este un multiplu al lui n, atunci se adaugă zerouri la dreapta. Fiecare astfel de grup de cifre ale unui număr din vechiul sistem de numere va corespunde unei cifre a numărului din noul sistem de numere.
Să convertim 1100001,1112 în sistemul numeric cuaternar.
Adăugând zerouri și selectând perechi de numere, obținem 01100001.11102.
Acum să traducem fiecare pereche de cifre separat, folosind secțiunea Traducerea numerelor dintr-un sistem arbitrar în altul.
Deci, 1100001,1112 = 01100001,11102 = 1201,324.
Să presupunem că acum este necesar să se efectueze un transfer de la un sistem cu o bază mai mare q la un sistem cu o bază mai mică p, adică q = pn. În acest caz, o cifră a unui număr din vechiul sistem de numere corespunde cu n cifre ale unui număr din noul sistem de numere.
Exemplu: Să verificăm traducerea anterioară a unui număr.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
În sistemul hexazecimal există cifre cu valori numerice 10,11,12, 13,14,15. Pentru a le desemna, utilizați primele șase litere ale alfabetului latin A, B, C, D, E, F.
Iată un tabel cu numere de la 0 la 16, scrise în sisteme numerice cu bazele 10, 2, 8 și 16.
Numărul din sistemul numeric zecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 16 în octogonal 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 20 în binar 10 0 1 1 0 1 0 1 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 În hexazecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 Pentru a scrie litere hexazecimale, poti folosi și litere latine.
Exemplu: Să transformăm numărul 110101001010101010100.112 în sistem de numere hexazecimale.
Să folosim multiplicitatea bazelor sistemelor numerice (16=24). Să grupăm numerele cu patru, adăugând numărul necesar de zerouri la stânga și la dreapta
000110101001010101010100,11002 și, verificând tabelul, obținem: 1A9554,C16
În ce sistem de numere este cel mai bine să scrieți numerele este o chestiune de comoditate și tradiție. Din punct de vedere tehnic, este convenabil să folosiți sistemul binar într-un computer, deoarece folosește doar două cifre 0 și 1 pentru a înregistra un număr, care poate fi reprezentat prin două stări ușor de distins „fără semnal” și „nu există un semnal.”
Dimpotrivă, este incomod pentru o persoană să se ocupe de notațiile binare ale numerelor din cauza faptului că acestea sunt mai lungi decât cele zecimale și există multe cifre care se repetă în ele. Prin urmare, dacă este necesar, lucrați cu reprezentări automate ale numerelor, utilizați sisteme de numere octale sau hexazecimale. Bazele acestor sisteme sunt puteri întregi de două și, prin urmare, numerele sunt ușor convertite din aceste sisteme în binar și invers.
Sistem de numere binar. Biți și octeți. Segmentarea memoriei.
Să vedem cum sunt stocate datele în memoria computerului.
În general, cum poate un computer să stocheze, de exemplu, cuvântul „disc”? Principiul principal este magnetizarea și demagnetizarea unei piese (să-i spunem așa). Un cip de memorie este, aproximativ vorbind, un număr mare de piese. Acum să încercăm să ne dăm seama. De exemplu: zero va fi desemnat ca 0000 (patru zerouri), unul 0001, două 0010,
(adică îl înlocuim pe cel drept cu 0 și îl setăm pe al doilea la 1).
Ai inteles principiul? „0” și „1” sunt așa-numitele. biți. Un bit, după cum ați observat deja, poate fi zero sau unu, adică una sau alta pistă este demagnetizată sau magnetizată („0” și „1” sunt simboluri). Dacă aruncați o privire mai atentă, veți observa că fiecare bit set următor (începând din dreapta) dublează numărul: 0001 în exemplul nostru = 1; 0010 doi; 0100 patru; 1000 opt, etc. Acesta este așa-numitul. forma binară de reprezentare a datelor.
Acea. pentru a reprezenta numerele de la 0 la 9 avem nevoie de patru biți (deși nu sunt folosiți pe deplin. Am putea continua: zece 1010, unsprezece 1011, cincisprezece 1111).
Acesta este modul în care un computer stochează datele în memorie. Pentru a desemna un caracter (cifre, litere, virgule, puncte) un computer folosește un anumit număr de biți. Computerul „recunoaște” 256 (de la 0 la 255) caractere diferite după codul lor. Acest lucru este suficient pentru a găzdui toate numerele (0 - 9), literele alfabetului latin (a - z, A - Z), rusă (a - z, A - Z), precum și alte caractere. Pentru a reprezenta un caracter cu codul maxim posibil (255), sunt necesari 8 biți. Acești 8 biți se numesc octet. Acea. Orice caracter are întotdeauna 1 octet.
Acea. cuvântul „disc” va ocupa 4 octeți sau 4*8 = 32 de biți. După cum înțelegeți deja, computerul stochează în memorie nu literele cuvântului în sine, ci o secvență de „unu” și „zero”. „Atunci, de ce vedem text pe ecran, și nu „unuri și zerouri” - vă întrebați pentru a vă satisface curiozitatea, voi merge puțin înainte și voi spune că toată munca de a afișa personajul în sine (. și nu biții) se face de placa video (adaptorul video), care se află în computerul dvs. Și dacă nu ar fi acolo, atunci, desigur, nu am vedea nimic din ceea ce se întâmplă pe ecranul nostru.
În asamblator, un număr binar trebuie să fie întotdeauna urmat de litera „b”. Acest lucru este necesar pentru ca la asamblarea programului nostru, asamblatorul să poată distinge între numere zecimale, hexazecimale și binare. De exemplu: 10 este „zece”, 10h este „șaisprezece” și 10b este „doi” în sistemul zecimal.
Acea. Registrele pot fi încărcate cu numere binare, zecimale și hexazecimale.
De exemplu: mov ax,20 mov bh,10100b mov cl,14h
Ca urmare, registrele AX, BH și CL vor conține același număr, doar că îl încărcăm pe sisteme diferite. Computerul îl va stoca în format binar (ca în registrul BH).
Deci, să rezumam. Într-un computer, toate informațiile sunt stocate în format binar (sistem binar) aproximativ sub următoarea formă: 10101110 10010010 01111010 11100101 (desigur, fără spații. Pentru comoditate, am împărțit biții în grupuri). Opt biți sunt un octet. Un caracter ocupă un octet, adică opt biți. Dupa parerea mea, nimic complicat. Este foarte important să înțelegeți acest subiect, deoarece vom folosi sistemul binar tot timpul și trebuie să îl cunoașteți perfect.
De ce sunt necesare sisteme de poziționare diferite?
Sistemele poziționale cu diferite baze au fost folosite pentru a studia proprietățile numerelor de sute de ani. De exemplu, prin scrierea numerelor întregi în diverse sisteme, se pot obține semne de divizibilitate. Luarea în considerare a altor probleme în teoria divizibilității este, de asemenea, facilitată de utilizarea sistemelor poziționale non-zecimale.
Cu toate acestea, această întrebare a ocupat doar un cerc relativ restrâns de oameni, în special specialiști în domeniul așa-numitei aritmetice superioare - teoria numerelor. Dar situația s-a schimbat de la apariția și utilizarea pe scară largă a computerelor.
Proiectarea calculatoarelor digitale este strâns legată de sistemul de numere adoptat.
Dispozitive de calcul.
Cel mai simplu dispozitiv de calcul digital este binecunoscutul abac rusesc. În ele, ace de tricotat cu oase pe ele sunt folosite pentru a descrie numărul. Numărul de spițe corespunde numărului de cifre alocate pentru a reprezenta numărul. Fiecare ac de tricotat poate fi în diferite stări, determinate de numărul de oase coborâte. Deoarece există zece cifre diferite în sistemul zecimal, pentru a le reprezenta trebuie să aveți zece stări diferite. Pentru a face acest lucru, se pun zece oase pe fiecare ac de tricotat.
abac rusesc
Un alt exemplu de computer digital este o mașină de adăugare. Aici, o roată este folosită pentru a reprezenta numere diferite din fiecare cifră. Circumferința roții din care este făcută acest angrenaj este împărțită în 10 părți. Fiecare piesă are un dinte de roată. Rotindu-se în jurul axei sale, angrenajul se poate opri în astfel de poziții numai atunci când oricare dintre dinții săi este instalat pe fereastra din corpul mașinii de adăugare. Fiecare dinte de viteză are un număr corespunzător scris pe el.
Exemplele luate în considerare arată că sistemul de numere poziționale utilizat pentru înregistrarea numerelor impune propriile cerințe în proiectarea computerelor: zece oase pe o spiță, zece dinți pe o roată dințată și zece trepte pe o rolă se explică prin faptul că numărul este reprezentat. în sistemul numeric zecimal.
TELEVIZOR. Sarapulova, I.E. Trofimov
NEPOZIȚIONALĂ ȘI MIXTE
SISTEME NUMERALE
directii 230700.62 „Informatica aplicata” ca linii directoare pentru munca independenta
la disciplina „Sisteme și tehnologii informaționale”
Kemerovo 2012
Recenzători:
1. Evgeniya Viktorovna Prokopenko, candidat la științe fizice și matematice, profesor asociat al departamentului de tehnologii informaționale aplicate.
2. Sokolov Igor Aleksandrovich, candidat la științe tehnice, conferențiar universitar, șef al Departamentului de Tehnologii Informaționale Aplicate, președinte al Comitetului de educație și formare al direcției 230700.62 „Informatică aplicată”.
Sarapulova Tatyana Viktorovna, Trofimov Ivan Evgenievici. Sisteme numerice nepoziționale și mixte: metoda. instrucțiuni pentru munca independentă la disciplina „Sisteme și tehnologii informaționale” [resursă electronică]: pentru studenții din zona de pregătire de licență 230700.62 „Informatică aplicată” / T. V. Sarapulova, I. E. Trofimov. - Electron. Dan. – Kemerovo: KuzGTU, 2012. – 1 electron. angro disc (CD-ROM); sunet ; culoare ; 12 cm – Sistem. cerințe: RAM 64 MB; Windows XP/Vista/7; (Unitatea CD ROM). - Cap. de pe ecran.
Orientările sunt destinate studiului independent al sistemelor numerice non-poziționale și mixte. Orientările includ un cadru teoretic și întrebări de testare.
Ó Sarapulova T.V., Trofimov I.E.
INTRODUCERE.. 4
1. SISTEME NUMERALE NEPOZIȚIONALE... 5
1.1. Sistemul de numere romane. 6
1.2. Sistemul de clasă reziduală (RSS) 6
1.3. Sistemul de numere Stern-Brocaw. 8
2. SISTEME NUMERALE MIXTE... 9
2.1. Sistemul numeric mayaș. 10
2.2. Sistemul numeric factorial. 10
2.3. Sistemul de numere Fibonacci. unsprezece
Scopul acestei lucrări independente este studiul sistemelor numerice nepoziționale și mixte.
INTRODUCERE
Una dintre cerințele obligatorii pentru un specialist în domeniul tehnologiei informației este cunoașterea principiilor de lucru cu numerele. În primele etape ale dezvoltării societății, oamenii aproape că nu știau să numere. Ei au făcut distincție între seturi de două și trei obiecte; orice colecție care conținea un număr mai mare de obiecte a fost unită în conceptul „multe”. La numărare, obiectele erau de obicei comparate cu degetele de la mâini și de la picioare. Pe măsură ce civilizația s-a dezvoltat, nevoia umană de a număra a devenit necesară. Inițial, numerele naturale au fost descrise folosind un anumit număr de liniuțe sau bastoane, apoi au început să fie folosite litere sau semne speciale pentru a le reprezenta.
Să trasăm o linie între număr și cifră. Un număr este o entitate abstractă care descrie cantitatea. Cifrele sunt semne folosite pentru a scrie numere. Există numere diferite, cele mai frecvente sunt cifrele arabe, reprezentate prin semnele familiare de la zero (0) la nouă (9); Cifrele romane sunt mai puțin comune, le putem găsi uneori pe un cadran de ceas sau în denumirea secolului (secolul XIX).
Deci, să ne amintim: număr – acesta este un fel de măsură abstractă a cantității, număr – acesta este un semn (desen) pentru scrierea unui număr.
Toate modalitățile de a scrie numere folosind cifre pot fi împărțite în trei părți:
1. sisteme de numere poziționale;
2. sisteme de numere mixte;
3. sisteme numerice nepoziționale.
Bancnotele sunt un exemplu izbitor de sistem numeric mixt. În prezent, în Rusia se folosesc monede și bancnote cu următoarele valori nominale: 1 copeck, 5 copeici, 10 copeici, 50 copeici, 1 rublă, 2 ruble, 5 ruble, 10 ruble, 50 ruble, 100 ruble, 500 ruble, 1000 ruble. . și 5000 de ruble. Pentru a obține o anumită sumă în ruble, trebuie să folosim un anumit număr de bancnote de diferite denominații. Să presupunem că cumpărăm un aspirator care costă 6.379 de ruble. Pentru a plăti, avem nevoie de șase mii de ruble, trei sute de ruble, o bancnotă de cincizeci de ruble, două zeci, o monedă de cinci ruble și două monede de două ruble. Dacă notăm numărul de bancnote sau monede începând de la 1000 de ruble. și terminând cu un copeck, înlocuind denumirile lipsă cu zerouri, obținem un număr reprezentat într-un sistem numeric mixt; în cazul nostru – 603121200000.
Într-un sistem numeric nepozițional, dimensiunea unui număr nu depinde de poziția cifrei în reprezentarea numărului. Un exemplu izbitor de sistem numeric non-pozițional este sistemul roman. În ciuda vechimii sale venerabile, acest sistem este încă în uz, deși nu este utilizat în general.
SISTEME NUMERALE NEPOZIȚIONALE
În sistemele numerice nepoziționalevaloarea pe care o denotă o cifră nu depinde de poziția sa în număr.În acest caz, sistemul poate impune restricții privind poziția numerelor.
Din cele mai vechi timpuri, oamenii au folosit pe scară largă sistemele numerice non-poziționale. Pentru a număra animalele, populația și proviziile, au fost folosite diverse litere, pictograme și alte forme geometrice. De-a lungul timpului, sistemele non-poziționale au devenit mai puțin populare și în lumea modernă găsim un reprezentant tipic al sistemelor non-poziționale - sistemul numeric roman, mai mult ca o literă exotică decât un sistem cu adevărat funcțional. Motivul abandonării sistemelor numerice nepoziționale a fost apariția sistemelor poziționale, care au făcut posibilă utilizarea alfabetelor digitale semnificativ mai mici pentru a desemna chiar și numere foarte mari și, mai important, a asigura efectuarea simplă a operațiilor aritmetice asupra numerelor.
Sistemul de numere romane
Exemplul canonic al unui sistem numeric practic nepozițional este sistemul roman, care folosește litere latine ca numere:
I reprezintă 1, V pentru 5, X pentru 10, L pentru 50, C pentru 100, D pentru 500, M pentru 1000.
De exemplu, II = 1 + 1 = 2, aici simbolul I reprezintă 1 indiferent de locul său în număr.
Vă rugăm să rețineți că simbolul zero din acest sistem numeric, ca și în alte sisteme nepoziționale, lipsește ca fiind inutil.
Nu există informații sigure despre originea cifrelor romane. Numărul V ar putea servi inițial ca o imagine a unei mâini, iar numărul X ar putea fi format din două cinci. În numerotarea romană există în mod clar urme ale sistemului numeric de cinci ori.
De fapt, sistemul roman nu este complet nonpoziţional, deoarece cifra mai mică care o precede pe cea mai mare este scăzută din ea, de exemplu:
VI = 6, adică 5 + 1, în timp ce IV = 4, adică. 5 – 1;
XL = 40, adică 50 – 10, în timp ce LX = 60, adică. 50 + 10.
Același număr în sistemul roman este plasat de cel mult trei ori la rând: LXX = 70; LXXX = 80; numărul 90 este scris XC (nu XLXXX).
Primele 12 numere sunt scrise cu cifre romane astfel: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.
Alte numere se scriu, de exemplu, ca: XXVIII = 28; XXXIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.
Când ne întrebăm câte numere pot fi scrise în sistemul roman, descoperim rapid că intervalul lor se întinde de la 1 (I) la 3999 (MMMCMXCIX). O gamă atât de restrânsă de numere limitează serios utilizarea sistemului în viața modernă, unde numărul este de milioane.
Acum sistemul numeric roman este folosit pentru a indica aniversările, numerotarea unor pagini ale unei cărți (de exemplu, paginile prefeței), capitolele din cărți, strofele din poezii etc.
Informații conexe.
În timp ce studiam codificări, mi-am dat seama că nu înțelegeam suficient de bine sistemele de numere. Cu toate acestea, am folosit adesea sisteme 2, 8, 10, 16, convertite unul la altul, dar totul a fost făcut „automat”. După ce am citit multe publicații, am fost surprins de lipsa unui articol unic, într-un limbaj simplu, despre un astfel de material de bază. De aceea m-am hotărât să-l scriu pe al meu, în care am încercat să prezint elementele de bază ale sistemelor de numere într-o manieră accesibilă și ordonată.
Introducere
Notaţie este o modalitate de înregistrare (reprezentare) a numerelor.Ce înseamnă acest lucru? De exemplu, vezi mai mulți copaci în fața ta. Sarcina ta este să le numeri. Pentru a face acest lucru, puteți să vă îndoiți degetele, să faceți crestături pe o piatră (un copac - un deget/crestătură) sau să potriviți 10 copaci cu un obiect, de exemplu, o piatră și un singur exemplar cu un băț, și să le plasați pe pământ pe măsură ce numărați. În primul caz, numărul este reprezentat ca un șir de degete îndoite sau crestături, în al doilea - o compoziție de pietre și bastoane, unde pietrele sunt în stânga și lipește în dreapta
Sistemele numerice sunt împărțite în poziționale și nepoziționale, iar poziționale, la rândul lor, în omogene și mixte.
Nonpozițional- cea mai veche, în ea fiecare cifră a unui număr are o valoare care nu depinde de poziția (cifra) sa. Adică, dacă aveți 5 rânduri, atunci și numărul este 5, deoarece fiecare linie, indiferent de locul ei în linie, corespunde doar unui articol.
Sistem pozițional- semnificația fiecărei cifre depinde de poziția (cifra) acesteia în număr. De exemplu, al 10-lea sistem numeric care ne este familiar este pozițional. Să luăm în considerare numărul 453. Numărul 4 indică numărul de sute și corespunde numărului 400, 5 - numărul zecilor și este similar cu valoarea 50, iar 3 - unități și valoarea 3. După cum puteți vedea, mai mare este cifra, cu atât valoarea este mai mare. Numărul final poate fi reprezentat ca suma 400+50+3=453.
Sistem omogen- pentru toate cifrele (pozițiile) unui număr setul de caractere valide (cifrele) este același. Ca exemplu, să luăm al 10-lea sistem menționat anterior. Când scrieți un număr într-un al 10-lea sistem omogen, puteți utiliza o singură cifră de la 0 la 9 în fiecare cifră, astfel încât numărul 450 este permis (prima cifră - 0, a 2-a - 5, a 3-a - 4), dar 4F5 nu este, deoarece caracterul F nu este inclus în setul de numere de la 0 la 9.
Sistem mixt- în fiecare cifră (poziție) a unui număr, setul de caractere (cifre) valide poate diferi de seturile de alte cifre. Un exemplu izbitor este sistemul de măsurare a timpului. În categoria secunde și minute sunt posibile 60 de simboluri diferite (de la „00” la „59”), în categoria ore – 24 de simboluri diferite (de la „00” la „23”), în categoria zilei – 365 etc.
Sisteme non-poziționale
De îndată ce oamenii au învățat să numere, a apărut nevoia de a scrie numere. La început, totul era simplu - o crestătură sau o liniuță pe o suprafață corespundea unui obiect, de exemplu, un fruct. Așa a apărut primul sistem numeric - unitate.Sistem de numere de unitate
Un număr din acest sistem numeric este un șir de liniuțe (beți), al căror număr este egal cu valoarea numărului dat. Astfel, o recoltă de 100 de curmale va fi egală cu un număr format din 100 de liniuțe.Dar acest sistem are inconveniente evidente - cu cât numărul este mai mare, cu atât șirul de bețe este mai lung. În plus, puteți greși cu ușurință când scrieți un număr adăugând accidental un stick suplimentar sau, dimpotrivă, nu îl notați.
Pentru comoditate, oamenii au început să grupeze bețișoarele în 3, 5 și 10 bucăți. În același timp, fiecărui grup îi corespundea un anumit semn sau obiect. Inițial, degetele erau folosite pentru numărare, astfel că primele semne au apărut pentru grupuri de 5 și 10 bucăți (unități). Toate acestea au făcut posibilă crearea unor sisteme mai convenabile pentru înregistrarea numerelor.
Sistemul zecimal egiptean antic
În Egiptul Antic, simbolurile speciale (numerele) erau folosite pentru a reprezenta numerele 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Aici sunt câțiva dintre ei:De ce se numește zecimală? După cum sa menționat mai sus, oamenii au început să grupeze simboluri. În Egipt, au ales o grupare de 10, lăsând numărul „1” neschimbat. În acest caz, numărul 10 se numește sistemul numeric zecimal de bază și fiecare simbol este o reprezentare a numărului 10 într-o oarecare măsură.
Numerele din sistemul de numere egiptean antic au fost scrise ca o combinație a acestora
personaje, fiecare dintre acestea fiind repetat de cel mult nouă ori. Valoarea finală a fost egală cu suma elementelor numărului. Este de remarcat faptul că această metodă de obținere a unei valori este caracteristică oricărui sistem numeric nepozițional. Un exemplu ar fi numărul 345:
Sistemul sexagesimal babilonian
Spre deosebire de sistemul egiptean, sistemul babilonian folosea doar 2 simboluri: o pană „dreaptă” pentru a indica unitățile și o pană „înclinată” pentru a indica zeci. Pentru a determina valoarea unui număr, trebuie să împărțiți imaginea numărului în cifre de la dreapta la stânga. O nouă descărcare începe cu apariția unei pane drepte după una înclinată. Să luăm ca exemplu numărul 32:
Numărul 60 și toate puterile sale sunt, de asemenea, notate printr-o pană dreaptă, cum ar fi „1”. Prin urmare, sistemul numeric babilonian a fost numit sexagesimal.
Babilonienii au scris toate numerele de la 1 la 59 într-un sistem zecimal non-pozițional și valori mari într-un sistem pozițional cu o bază de 60. Numărul 92:
Înregistrarea numărului a fost ambiguă, deoarece nu exista nicio cifră care să indice zero. Reprezentarea numărului 92 ar putea însemna nu numai 92=60+32, ci și, de exemplu, 3632=3600+32. Pentru a determina valoarea absolută a unui număr, a fost introdus un simbol special pentru a indica cifra sexagesimală lipsă, care corespunde apariției numărului 0 în notația numerică zecimală:
Acum, numărul 3632 ar trebui scris ca:
Sistemul sexagesimal babilonian este primul sistem numeric bazat parțial pe principiul pozițional. Acest sistem de numere este folosit și astăzi, de exemplu, la determinarea timpului - o oră este formată din 60 de minute, iar un minut este format din 60 de secunde.
sistemul roman
Sistemul roman nu este foarte diferit de cel egiptean. Folosește literele latine majuscule I, V, X, L, C, D și M pentru a reprezenta numerele 1, 5, 10, 50, 100, 500 și, respectiv, 1000. Un număr din sistemul numeric roman este un set de cifre consecutive.Metode pentru determinarea valorii unui număr:
- Valoarea unui număr este egală cu suma valorilor cifrelor sale. De exemplu, numărul 32 în sistemul numeric roman este XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Dacă există una mai mică la stânga cifrei mai mari, atunci valoarea este egală cu diferența dintre cifrele mai mari și cele mai mici. În același timp, cifra din stânga poate fi mai mică decât cea din dreapta cu maximum un ordin de mărime: de exemplu, doar X(10) poate apărea înaintea L(50) și C(100) printre cele „mai mici” , și numai înainte de D(500) și M(1000) C(100), înainte de V(5) - doar I(1); numărul 444 din sistemul numeric luat în considerare va fi scris ca CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Valoarea este egală cu suma valorilor grupurilor și numerelor care nu se încadrează în punctele 1 și 2.
1) Slavă
2) greacă (ionică)
Sisteme numerice poziționale
După cum am menționat mai sus, primele condiții prealabile pentru apariția unui sistem pozițional au apărut în Babilonul antic. În India, sistemul a luat forma unei numerotări zecimale poziționale folosind zero, iar de la indieni acest sistem de numere a fost împrumutat de arabi, de la care europenii l-au adoptat. Din anumite motive, în Europa numele „Arab” a fost atribuit acestui sistem.Sistem de numere zecimale
Acesta este unul dintre cele mai comune sisteme numerice. Acesta este ceea ce folosim atunci când numim prețul unui produs și spunem numărul autobuzului. Fiecare cifră (poziție) poate folosi doar o cifră din intervalul de la 0 la 9. Baza sistemului este numărul 10.De exemplu, să luăm numărul 503. Dacă acest număr ar fi scris într-un sistem nepozițional, atunci valoarea lui ar fi 5+0+3 = 8. Dar avem un sistem pozițional și asta înseamnă că fiecare cifră a numărului trebuie să fie înmulțit cu baza sistemului, în acest caz numărul „10”, ridicat la o putere egală cu numărul cifrei. Se dovedește că valoarea este 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Pentru a evita confuzia atunci când lucrați cu mai multe sisteme numerice simultan, baza este indicată ca indice. Astfel, 503 = 503 10.
Pe lângă sistemul zecimal, sistemele 2, 8 și 16 merită o atenție specială.
Sistem de numere binar
Acest sistem este utilizat în principal în calcul. De ce nu au folosit al 10-lea obișnuit? Primul computer a fost creat de Blaise Pascal, care a folosit sistemul zecimal, care s-a dovedit a fi incomod la mașinile electronice moderne, deoarece necesita producția de dispozitive capabile să funcționeze în 10 state, ceea ce le-a crescut prețul și dimensiunea finală a mașinărie. Elementele care funcționează în al 2-lea sistem nu prezintă aceste neajunsuri. Cu toate acestea, sistemul în cauză a fost creat cu mult înainte de inventarea computerelor și își are „rădăcinile” în civilizația incașă, unde au fost folosite quipus - țesături complexe de frânghii și noduri.Sistemul de numere binare poziționale are o bază de 2 și folosește 2 simboluri (cifre) pentru a scrie numere: 0 și 1. Este permisă doar o cifră în fiecare cifră - fie 0, fie 1.
Un exemplu este numărul 101. Este similar cu numărul 5 din sistemul numeric zecimal. Pentru a converti de la 2 la 10, trebuie să înmulțiți fiecare cifră a unui număr binar cu baza „2” ridicată la o putere egală cu valoarea locului. Astfel, numărul 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.
Ei bine, pentru mașini sistemul de al 2-lea număr este mai convenabil, dar adesea vedem și folosim numere în al 10-lea sistem de pe computer. Cum determină aparatul ce număr introduce utilizatorul? Cum traduce un număr dintr-un sistem în altul, deoarece are doar 2 simboluri - 0 și 1?
Pentru ca un computer să funcționeze cu numere binare (coduri), acestea trebuie să fie stocate undeva. Pentru a stoca fiecare cifră individuală, se folosește un declanșator, care este un circuit electronic. Poate fi în 2 stări, dintre care una corespunde cu zero, cealaltă cu una. Pentru a reține un singur număr, se folosește un registru - un grup de declanșatori, al cărui număr corespunde numărului de cifre dintr-un număr binar. Iar setul de registre este RAM. Numărul conținut în registru este un cuvânt de mașină. Operațiile aritmetice și logice cu cuvinte sunt efectuate de o unitate logică aritmetică (ALU). Pentru a simplifica accesul la registre, acestea sunt numerotate. Numărul se numește adresa de înregistrare. De exemplu, dacă trebuie să adăugați 2 numere, este suficient să indicați numerele celulelor (registrelor) în care sunt situate, și nu numerele în sine. Adresele sunt scrise în sisteme octal și hexazecimal (vor fi discutate mai jos), deoarece trecerea de la ele la sistemul binar și înapoi este destul de simplă. Pentru a transfera de la a 2-a la a 8-a, numărul trebuie împărțit în grupuri de 3 cifre de la dreapta la stânga și pentru a trece la a 16-a - 4. Dacă nu există suficiente cifre în grupul de cifre din stânga, atunci acestea sunt completate. din stânga cu zerouri, care se numesc conducător. Să luăm ca exemplu numărul 101100 2. În octal este 101 100 = 54 8, iar în hexazecimal este 0010 1100 = 2C 16. Grozav, dar de ce vedem numere și litere zecimale pe ecran? Când apăsați o tastă, o anumită secvență de impulsuri electrice este transmisă computerului, iar fiecare simbol corespunde propriei secvențe de impulsuri electrice (zero și unu). Programul driver pentru tastatură și ecran accesează tabelul de coduri de caractere (de exemplu, Unicode, care vă permite să codificați 65536 de caractere), determină cărui caracter îi corespunde codul rezultat și îl afișează pe ecran. Astfel, textele și numerele sunt stocate în memoria computerului în cod binar, și sunt convertite programatic în imagini pe ecran.
Sistem de numere octale
Al 8-lea sistem numeric, ca și cel binar, este adesea folosit în tehnologia digitală. Are o bază de 8 și folosește cifrele de la 0 la 7 pentru a scrie numere.Un exemplu de număr octal: 254. Pentru a converti în al 10-lea sistem, fiecare cifră a numărului inițial trebuie înmulțită cu 8 n, unde n este numărul cifrei. Se pare că 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.
Sistemul numeric hexazecimal
Sistemul hexazecimal este utilizat pe scară largă în computerele moderne, de exemplu, este folosit pentru a indica culoarea: #FFFFFF - alb. Sistemul în cauză are o bază de 16 și folosește următoarele numere pentru a scrie: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, unde literele sunt 10, 11, 12, 13, 14, respectiv 15.Să luăm ca exemplu numărul 4F5 16. Pentru a converti în sistemul octal, mai întâi convertim numărul hexazecimal în binar, apoi, împărțindu-l în grupuri de 3 cifre, în octal. Pentru a converti un număr în 2, trebuie să reprezentați fiecare cifră ca un număr binar de 4 biți. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Dar în grupurile 1 și 3 nu există suficientă cifră, așa că să umplem fiecare cu zerouri înainte: 0100 1111 0101. Acum trebuie să împărțiți numărul rezultat în grupuri de 3 cifre de la dreapta la stânga: 0100 1111 0101 = 010 011 110 1 . Să convertim fiecare grup binar în sistemul octal, înmulțind fiecare cifră cu 2 n, unde n este numărul cifrei: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2). 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Pe lângă sistemele de numere poziționale considerate, există și altele, de exemplu:
1) Treime
2) Cuaternar
3) Duozecimal
Sistemele poziționale sunt împărțite în omogene și mixte.
Sisteme de numere poziționale omogene
Definiția dată la începutul articolului descrie sisteme omogene destul de complet, așa că clarificarea este inutilă.Sisteme de numere mixte
La definiția deja dată putem adăuga teorema: „dacă P=Q n (P,Q,n sunt numere întregi pozitive, în timp ce P și Q sunt baze), atunci înregistrarea oricărui număr în sistemul de numere mixt (P-Q) în mod identic coincide cu scrierea aceluiași număr în sistemul numeric cu baza Q.”Pe baza teoremei, putem formula reguli pentru transferul de la sistemele P-th la Q-th și invers:
- Pentru a converti de la Q-th la P-th, trebuie să împărțiți numărul din sistemul Q-th în grupuri de n cifre, începând cu cifra dreaptă și înlocuiți fiecare grup cu o cifră în sistemul P-th .
- Pentru a converti de la P-th la Q-th, este necesar să convertiți fiecare cifră a unui număr din sistemul P-th în Q-th și să completați cifrele lipsă cu zerouri de început, cu excepția celui din stânga, astfel încât fiecare număr din sistemul cu baza Q este format din n cifre.
Sistemele de numere mixte sunt, de asemenea, de exemplu:
1) Factorial
2) Fibonacci
Conversia de la un sistem numeric la altul
Uneori trebuie să convertiți un număr dintr-un sistem numeric în altul, așa că haideți să vedem modalități de conversie între diferite sisteme.Conversie la sistemul numeric zecimal
Există un număr a 1 a 2 a 3 în sistemul numeric cu baza b. Pentru a converti în al 10-lea sistem, este necesar să înmulțiți fiecare cifră a numărului cu b n, unde n este numărul cifrei. Astfel, (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10.Exemplu: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Conversia din sistemul de numere zecimal în altele
Toata parte:- Împărțim succesiv partea întreagă a numărului zecimal la baza sistemului în care facem conversia până când numărul zecimal este egal cu zero.
- Resturile obtinute in timpul impartirii sunt cifrele numarului dorit. Numărul din noul sistem este scris începând de la ultimul rest.
- Înmulțim partea fracționară a numărului zecimal cu baza sistemului la care dorim să facem conversia. Separați întreaga parte. Continuăm să înmulțim partea fracțională cu baza noului sistem până când este egală cu 0.
- Numerele din noul sistem sunt alcătuite din părți întregi ale rezultatelor înmulțirii, în ordinea corespunzătoare producerii lor.
15\8 = 1, restul 7
1\8 = 0, restul 1
După ce am scris toate resturile de jos în sus, obținem numărul final 17. Prin urmare, 15 10 = 17 8.
Conversia din binar în octal și hexazecimal
Pentru a converti în octal, împărțim numărul binar în grupuri de 3 cifre de la dreapta la stânga și umplem cifrele lipsă cele mai exterioare cu zerouri de început. În continuare, transformăm fiecare grup înmulțind cifrele succesiv cu 2n, unde n este numărul cifrei.Să luăm ca exemplu numărul 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Pentru a converti în hexazecimal, împărțim numărul binar în grupuri de 4 cifre de la dreapta la stânga, apoi similar cu conversia de la a 2-a la a 8-a.
Convertiți din octal și hexazecimal în binar
Conversie de la octal la binar - convertim fiecare cifră a unui număr octal într-un număr binar de 3 cifre prin împărțirea la 2 (pentru mai multe informații despre divizare, consultați paragraful „Conversia de la sistemul numeric zecimal la altele” de mai sus), completați lipsesc cifrele exterioare cu zerouri la început.De exemplu, luați în considerare numărul 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Traducere de la a 16-a la a 2-a - convertim fiecare cifră a unui număr hexazecimal într-un număr binar de 4 cifre prin împărțirea la 2, completând cifrele exterioare lipsă cu zerouri de început.
Conversia părții fracționale a oricărui sistem numeric în zecimală
Conversia se efectuează în același mod ca și pentru părțile întregi, cu excepția faptului că cifrele numărului sunt înmulțite cu baza la puterea „-n”, unde n începe de la 1.
Exemplu: 101.011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0) .25 + 0.125) = 5.375 10
Conversia părții fracționale a binarului în a 8-a și a 16-a
Translația părții fracționale se realizează în același mod ca și pentru părți întregi ale unui număr, cu singura excepție că împărțirea în grupuri de 3 și 4 cifre se duce la dreapta virgulei zecimale, cifrele lipsă sunt completate cu zerouri la dreapta.Exemplu: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1) *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Conversia părții fracționale a sistemului zecimal în oricare alta
Pentru a converti partea fracționară a unui număr în alte sisteme numerice, trebuie să transformați întreaga parte în zero și să începeți să înmulțiți numărul rezultat cu baza sistemului în care doriți să îl convertiți. Dacă, ca urmare a înmulțirii, apar din nou părți întregi, acestea trebuie să fie transformate din nou la zero, după ce mai întâi ați amintit (notat) valoarea părții întregi rezultate. Operația se termină când partea fracțională este complet zero.De exemplu, să convertim 10,625 10 în binar:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Scriind toate resturile de sus în jos, obținem 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
Sisteme numerice non-poziționale
Oamenii au învățat să numere cu mult timp în urmă. Ulterior, a apărut necesitatea înregistrării numerelor. Numărul de obiecte a fost reprezentat prin desenarea liniuțelor sau a crestăturilor pe o suprafață dură, pentru ca doi oameni să poată stoca cu precizie unele informații numerice, au luat o etichetă de lemn, au făcut numărul necesar de crestături pe ea și apoi au împărțit eticheta în jumătate. Fiecare și-a luat cealaltă jumătate și a păstrat-o. Această tehnică ne-a permis să evităm situațiile controversate. Arheologii au găsit astfel de înregistrări în timpul săpăturilor. Ele datează din mileniul 10-11 î.Hr.
Oamenii de știință au numit acest sistem de scriere a numerelor unitate (unară), deoarece orice număr din el este format prin repetarea unui semn care simbolizează unul.
Ulterior, aceste insigne au început să fie combinate în grupuri de 3, 5 și 10 bețe. Prin urmare, au apărut sisteme numerice mai convenabile.
În jurul mileniului al treilea î.Hr., egiptenii au venit cu propriul sistem numeric, în care icoane speciale - hieroglife - erau folosite pentru a indica numerele cheie. Fiecare astfel de hieroglifă poate fi repetată de cel mult 9 ori Sistemul de numere nepozițional zecimal egiptean antic
Un exemplu de sistem numeric non-pozițional care a supraviețuit până în zilele noastre este sistemul numeric folosit în urmă cu mai bine de două mii și jumătate de ani în Roma Antică. Se numestesistem de numere romane.
Se bazează pe semnele I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).
Numerele romane au fost folosite de foarte mult timp astăzi sunt folosite în principal pentru a denumi date semnificative, volume, secțiuni și capitole din cărți.
Pentru a scrie numere, romanii foloseau nu numai adunarea, ci și scăderea.
Reguli pentru compilarea numerelor în sistemul numeric roman:
- Se adună mai multe numere identice pe rând (grup de primul tip).
- Dacă există una mai mică în stânga cifrei mai mari, atunci valoarea cifrei mai mici se scade din valoarea celei mai mari (grup de al doilea tip).
- Se adună valorile grupurilor și numerelor care nu sunt incluse în grupurile primului și al doilea tip.
În antichitate, sistemele de numere care aminteau de cele romane erau utilizate pe scară largă în Rus'. Ei au fost chemați yasak bani. Cu ajutorul lor, colectorii au completat bonuri de plată a impozitelor (yasak) și au făcut înregistrări în caietul fiscal.
„Cartea Rusă a Impozitelor”
Sistemele de numere non-poziționale au o serie de dezavantaje semnificative:
- Există o nevoie constantă de a introduce noi simboluri pentru înregistrarea numerelor mari.
- Este imposibil să se reprezinte numere fracționale și negative.
- Este dificil să se efectueze operații aritmetice deoarece nu există algoritmi pentru efectuarea lor. În special, toate popoarele, împreună cu sistemele de numere, aveau metode de numărare a degetelor, iar grecii aveau o tablă de numărare a abac - ceva ca abacul nostru.
Dar încă folosim elemente ale sistemului numeric non-pozițional în vorbirea de zi cu zi, în special, spunem o sută, nu zece zeci, o mie, un milion, un miliard, un trilion.
SISTEME NUMERALE NEPOZIȚIONALE
Nonpozițional - al cărui alfabet conține un număr nelimitat de caractere, iar echivalentul cantitativ al oricărui număr este constant și depinde doar de stilul său. Poziția cifrelor în număr nu contează. Sistemele nepoziționale sunt construite pe principiul aditivității (Add - sum) - echivalentul cantitativ al unui număr este definit ca suma cifrelor.
Un sistem numeric nepozițional este un sistem numeric în care echivalentul cantitativ al fiecărei cifre nu depinde de poziția (locul, poziția) acesteia în codul numeric.
Sistemele numerice non-poziționale au apărut mai devreme decât cele poziționale.
În aceste sisteme numerice, valoarea (magnitudinea) unui număr este definită ca suma sau diferența cifrelor din număr.
Sistemele de numere non-poziționale au o serie de dezavantaje:
- - pentru a înregistra numere mari trebuie să introduceți numere noi;
- - este imposibil să scrieți numere fracționale și negative;
- - operatii aritmetice dificil de realizat.
Există multe tipuri de N.S.S. de exemplu: unar, egiptean antic, alfabetic, grecesc, roman, babilonian.
Să ne uităm la unele dintre ele.
SISTEMUL DE SCRIERE ROMÂNĂ
Vechii romani foloseau numerotarea, care rămâne până astăzi sub denumirea de „numerarea romană”. Îl folosim pentru a indica aniversari, pentru a numerota anumite pagini ale unei cărți (de exemplu, paginile prefaței), capitole din cărți, strofe din poezii etc. În forma sa ulterioară, cifrele romane arată astfel:
I=1; V=5; X=10; L=50; C=100; D=500; M=1000.
Anterior aveau o formă puțin diferită. Astfel, numărul 1000 a fost reprezentat prin semnul (|), iar 500 prin semnul |).
Nu există informații sigure despre originea cifrelor romane. Numărul V ar putea servi inițial ca o imagine a unei mâini, iar numărul X ar putea fi format din două cinci. La fel, semnul pentru 1000 ar putea fi alcătuit din dublarea semnului pentru 500 (sau invers).
În numerotarea romană, urmele sistemului de numere în cinci ori sunt clar vizibile. În limba romanilor (latina) nu există urme ale sistemului în cinci ori. Aceasta înseamnă că aceste numere au fost împrumutate de romani de la un alt popor (foarte probabil de la etrusci).
Toate numerele întregi (până la 5000) sunt scrise prin repetarea numerelor de mai sus. În același timp, dacă un număr mai mare este în fața unuia mai mic, atunci se adună, dar dacă cel mai mic este în fața unuia mai mare (în acest caz nu se poate repeta), atunci cel mai mic se scade. din cea mai mare1). De exemplu, VI=6, i.e. 5+1, IV=4, adică. 5-1, XL=40, adică 50-10, LX=60, adică 50+10. Același număr este plasat de cel mult trei ori la rând: LXX=70; LXXX=80; numărul 90 este scris XC (nu XLXXX).
Primele 12 numere sunt scrise cu cifre romane astfel:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.
XXVIII=28; ХХХ1Х=39; CCCXCVII=397; MDCCCXVIII=1818.
Efectuarea operațiilor aritmetice pe numere cu mai multe cifre în această notație este foarte dificilă. Cu toate acestea, numerotarea romană a predominat în Italia până în secolul al XIII-lea, iar în alte țări din Europa de Vest până în secolul al XVI-lea.
Numere romane. Exemplul canonic al unui sistem numeric aproape nepozițional este cel roman, care folosește litere latine ca numere:
Eu reprezintă 1,
De exemplu, II = 1 + 1 = 2. Aici simbolul I reprezintă 1, indiferent de locul său în număr.
De fapt, sistemul roman nu este complet non-pozițional, deoarece din acesta se scade cifra mai mică care precede pe cea mai mare, de exemplu: IV = 4, în timp ce: VI = 6
Numar roman:
- 100 C
- 500D
- 1000 M
Pentru a fixa în memorie desemnările literelor numerelor în ordine descrescătoare, există o regulă mnemonică:
sistem numeric unar roman
Oferim lămâi suculente, este suficient Vsem Ix.
În consecință, M, D, C, L, X, V, I.
Exemple. Numar roman:
- 8 VIII
- 31 XXXI
- 46 XLVI
- 99XIX
- 666 DCLXVI
- 888 DCCCLXXXVIII
- 1668 MDCLXVIII
- 1989 MCMLXXXIX
- 2009 MMIX
- 3999MMMCMXCIX
Pentru a scrie corect numere mari în cifre romane, trebuie să scrieți mai întâi numărul de mii, apoi sutele, apoi zeci și în final unitățile.
Exemplu: numărul 1988. O mie M, nouă sute CM, optzeci LXXX, opt VIII. Să le notăm împreună: MCMLXXXVIII.
Destul de des, pentru a evidenția numerele din text, se trasa o linie peste ele: LXIV. Uneori, a fost trasată o linie atât deasupra, cât și dedesubt: XXXII - în special, așa se obișnuiește să se evidențieze cifrele romane în textul scris de mână în limba rusă (aceasta nu este utilizată în compunere din cauza complexității tehnice). Pentru alți autori, overbar-ul ar putea indica o creștere a valorii figurii de 1000 de ori: VM = 6000.
Există o „comandă rapidă” pentru a scrie numere mari, cum ar fi 1999. Nu este recomandată, dar este folosită uneori pentru a simplifica lucrurile. Diferența este că, pentru a reduce o cifră, orice cifră poate fi scrisă în stânga acesteia:
- - 999. O mie M, scade 1 (I), obținem 999 (IM) în loc de CMXCIX. Consecință: 1999 - MIM în loc de MCMXCIX
- - 95. O sută C, scade 5 (V), obținem 95 (VC) în loc de XCV
- - 1950: o mie M, scade 50 (L), obținem 950 (LM). Consecință: 1950 - MLM în loc de MCML.
Abia în secolul al XIX-lea, numărul „patru” a fost scris ca „IV” înainte de aceasta, numărul „IIII” a fost folosit cel mai des. Cu toate acestea, intrarea „IV” poate fi găsită deja în documentele manuscrisului Forme of Cury datând din 1390. Cadranele ceasurilor au folosit în mod tradițional „IIII” în loc de „IV” în majoritatea cazurilor, în principal din motive estetice: această ortografie oferă simetrie vizuală cu cifrele „VIII” de pe partea opusă, iar un „IV” inversat este mai greu de citit decât „IIII”. Aplicație.
În rusă, cifrele romane sunt folosite în următoarele cazuri:
- - numărul secolului sau mileniului: secolul XIX, mileniul II î.Hr. e.;
- - numărul de ordine al monarhului: Carol al V-lea, Ecaterina a II-a;
- - numărul volumului într-o carte în mai multe volume (uneori - numere de părți ale cărții, secțiuni sau capitole);
- - în unele publicații - numerele de foi cu prefața la carte, pentru a nu corecta legăturile din textul principal atunci când se modifică prefața;
- - marcarea cadranelor ceasurilor „antique”;
- - alte evenimente importante sau articole de listă, de exemplu: V postulatul lui Euclid, al Doilea Război Mondial, XXII Congres al PCUS etc.
În alte limbi, domeniul de aplicare al cifrelor romane poate avea caracteristici specifice, de exemplu, în țările occidentale, numărul anului este uneori scris cu cifre romane;
Există două reguli pentru scrierea numerelor în sistemul roman:
- -1- se scade din acesta fiecare semn mai mic plasat in stanga celui mai mare;
- -2- i se adauga fiecare semn mai mic plasat in dreapta celui mai mare.
Datorită inconvenientelor și complexității sale mari, sistemul de numere romane este utilizat în prezent acolo unde este cu adevărat convenabil: în literatură (numerotarea capitolelor), în proiectarea documentelor (serie de pașapoarte, titluri de valoare etc.), în scop decorativ pe un cadran de ceas. , într-o serie de alte cazuri.