Číselné soustavy jsou způsoby zápisu čísel ve formě, která je vhodná pro čtení a provádění aritmetických operací.

Již v paleolitické éře se lidé snažili seskupit tečky, pruhy a zářezy do 3, 4, 5 nebo 7. Takové seskupování usnadňovalo počítání. V dávných dobách lidé počítali na prstech, a tak se předměty začaly seskupovat po 5 nebo 10. Později dostalo deset desítek zvláštní jméno, deset stovek – své vlastní jméno. Pro usnadnění záznamu se čísla začala označovat speciálními symboly. Vzhledem k tomu, že poloha znaku v takovém zápisu nehraje roli, začalo se takovým číselným soustavám říkat nepoziční. Nepoziční číselné soustavy používali již staří Egypťané, Řekové a Římané. Nepoziční číselné soustavy byly víceméně vhodné pro provádění operací sčítání a odčítání, ale vůbec ne vhodné pro násobení a dělení.

Pro usnadnění práce používali počítací desky – abaci.

Poziční číselné soustavy. Desetinná číselná soustava

V pozičních číselných soustavách má stejný číselný znak (číslice) v zápisu čísla různý význam v závislosti na místě (číslici), kde se nachází.

Babyloňané přešli na poziční sexagezimální systém. Babylonský systém počítání dlouho neměl nulu, tedy znaménko pro chybějící číslici. Zpočátku to nezpůsobovalo žádné nepříjemnosti, ale když se začaly sestavovat rozsáhlé matematické a astronomické tabulky, vyvstala potřeba takového znamení. Stopy babylonské číselné soustavy se dochovaly dodnes v řádu doby počítání (1 hodina = 60 minut, 1 minuta = 60 sekund).

Ve V1 století. , přesněji v 595. Indové vytvořili způsob záznamu, který používá pouze 9 číslic. Místo nuly zůstalo prázdné místo a později přibyla tečka nebo malé kolečko. Zvláštní znak pro nulu se objevil v 1. století. byla vyvinuta pravidla pro provádění aritmetických operací s čísly v desítkové číselné soustavě, která nevyžadovala použití počítadla a tato metoda záznamu se rozšířila do celého světa. Středoasijský matematik al-Khorezmi mluvil podrobně o systému desítkových čísel. Vzhledem k tomu, že svou práci napsal v arabštině, systém v Evropě dostal špatné jméno - „arabština“.

Polohové systémy s libovolnou bází.

Jsme zvyklí na desítkovou číselnou soustavu. Binární systém je nejlepší volbou pro počítač. Někdy však mohou být vhodné systémy s jinými bázemi. Počítání po desítkách je toho skvělým příkladem. Zde jsou číselným základem mocniny 12.

V obecném případě reprezentovat libovolné číslo N v číselné soustavě s daným základem d znamená zapsat jej ve tvaru, kde d je libovolné celé číslo větší než jedna. Koeficienty a0, a1, аn se nazývají čísla v d - ary zápisu N. Mohou nabývat pouze hodnot d: 0, nebo 1, nebo 2 nebo d-1. Všimněte si, že v případě d > 10 budeme muset vymyslet nové symboly pro čísla.

Chcete-li najít číslice čísla daného číslem N a základem d, můžete použít následující metodu: nejprve najděte největší základní číslo nepřesahující N. Potom se číslo N vydělí d, výsledkem je částečný podíl an a zbytek r n-1, tj.

Zbytek r n-1 je již menší než základní číslo, proto vydělte r n-1 d! A dostaneme neúplný kvocient an-1 a zbytek r n-2:

V praxi není určování d-árních číslic N počínaje nejvyšší číslicí příliš pohodlné. K tomuto účelu se obvykle používá jiná metoda. Představme číslo N jako výraz, který neobsahuje mocniny:

To ukazuje, že čísla an-1, a1a0 lze nalézt postupně, počínaje od nejnižší významné číslice, jako výsledek následujícího vícekrokového procesu: a0 se rovná zbytku dělení N d; a1 se rovná zbytku dělení d neúplného kvocientu získaného v předchozím kroku; an se rovná zbytku dělení d neúplného kvocientu získaného v předchozím kroku.

Že. Že číslo N v d-ární číselné soustavě je vyjádřeno čísly an-1, a1 a0, se zapíše takto:

Například: 26700 = (110100001001100)2 = (1323300)5.

Kladné racionální číslo (obyčejný kladný zlomek) je číslo, které lze zapsat ve tvaru

Kde p, q jsou přirozená čísla. Číslo p se nazývá čitatel zlomku a číslo q je jeho jmenovatel.

Víme, že zlomek se nezmění, pokud jeho čitatel a jmenovatel vynásobíme stejným přirozeným číslem n; jinými slovy, pro jakékoli přirozené číslo n platí rovnost

Jestliže čísla p a q nemají společné prvočinitele, pak se zlomek nazývá ireducibilní nebo vlastní.

Pokud je jmenovatel q zlomku 10 nebo 100 nebo 1000 atd., pak lze společný zlomek zapsat jako konečný desetinný zlomek, z nichž každý se nazývá desetinný rozvoj odpovídajícího společného zlomku.

Je také zřejmé, že jakýkoli konečný desetinný zlomek lze zapsat jako obyčejný zlomek, kde p je přirozené číslo a q je nějaká mocnina 10.

Pokud je jmenovatelem q společného zlomku nějaká mocnina 10, pak lze tento zlomek rozložit na konečný desetinný zlomek. Platí to i naopak: konečný desetinný zlomek je desetinný rozvoj obyčejného zlomku, jehož jmenovatelem je nějaká mocnina 10.

Osmičková číselná soustava

Osmičková číselná soustava je poziční celočíselná číselná soustava se základem 8. K reprezentaci čísel používá čísla 0 až 7.

Osmičková soustava se často používá v oblastech souvisejících s digitálními zařízeními. Vyznačuje se snadným převodem osmičkových čísel na dvojkové a naopak, nahrazením osmičkových čísel dvojkovými trojicemi. Dříve byl široce používán v programování a počítačové dokumentaci obecně, ale nyní byl téměř zcela nahrazen hexadecimálním.

Pokud se odkazujeme na osmičkovou číselnou soustavu, znamená to, že můžeme použít mnohem více číslic, než je obvyklé v dvojkové soustavě, ale méně než v desítkové soustavě, konkrétně můžeme pracovat s osmi číslicemi: 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7 - a nic víc.

Logika převodu desítkových čísel na osmičkovou (kódování do osmičkové číselné soustavy) je zcela totožná s tou výše.

Podrobnější informace jsou v sekci. "Zápis celých čísel v binární číselné soustavě" této kapitoly.

V určitém okamžiku totiž čísla dojdou (začíná „krize přechodného období“).

Desetinné číslo "8" se stane osmičkovým číslem "10" ("osmičková desítka"). Číslo "9" bude osmičkové číslo "11", číslo "10" bude osmičkové číslo "12". A tak dále až do desetinného čísla „15“, které se v osmičkovém tvaru rovná číslu „17“. tak co bude dál?

Čísla opět došla. Jak bude v osmičkové soustavě reprezentováno desetinné číslo "16"?

178 + 1 =. , ale součet „78 + 1“ je roven „10“ v osmičkové soustavě, a proto je třeba osmičkovou „desítku“ přičíst k již dostupné „desítku“, tj. součtu přítomnému v osmičkové soustavě. se získá: „1 + 1 = 2“. Výsledek je takový

Uveďme tyto informace ve formě tabulky (tab. 4. 4).

Tabulka 4. 4. Shoda mezi desetinnými a osmičkovými čísly

Desetinná čísla Osmičková čísla Desetinná čísla Osmičková čísla

0-7 0-7 25-63 31-77

9-15 11-17 128 200

17-23 21-27 512 1000

Ale ani taková čísla nejsou stále příliš ekonomická, alespoň jejich kapacita číslic není horší než desítková soustava, proto se ve výpočetní technice používá jiná číselná soustava, která se nazývá šestnáctková.

Číselná soustava je specifický způsob zápisu čísel a odpovídající pravidla pro operační čísla.

Číselné soustavy mohou být poziční nebo nepoziční.

V pozičním číselném systému závisí hodnota, kterou číslice představuje v čísle, na pozici číslice v tomto čísle. Soubor různých číslic používaných v poziční číselné soustavě k zápisu čísel se nazývá abeceda číselné soustavy. K vyjádření čísel větších než 10 se používají latinská písmena (A=10, B=11). Základem číselné soustavy je velikost abecedy. Číslo v poziční soustavě může být reprezentováno jako součet součinů jeho jednotlivých číslic odpovídajícími mocninami základu soustavy.

Jakýkoli polohový systém je zaveden následovně. Základ p je celé číslo a abeceda p číslic: O, 1, 2,. , p-1. Potom jakékoli číslo X v tomto systému je reprezentováno jako součet produktů:

Х = аn*рn + an-1*pn-1 + + a0*p0

Zde X je číslo v soustavě se základem p, které má n+1 číslic v celočíselné části - to jsou čísla z abecedy soustavy.

Převod čísel z jednoho polohového systému do druhého

Při převodu čísel z desítkové soustavy do p-ární soustavy musíte dekadické číslo rozložit na členy obsahující mocniny čísla p. Převod celočíselného desetinného čísla se provádí postupným dělením čísla základem p, oddělováním zbytků od dělení, dokud nebude podíl menší než dělitel. Vypsáním zbytků dělení zprava doleva získáme p-bohatý zápis pro desetinné číslo.

V pozičních systémech je hodnota zápisu celého čísla určena následujícím pravidlem: nechť a na n-1a n-2a 1a 0 je zápis čísla A a i jsou číslice, pak

A = a n·pn+a n-1·pn-1 +a n-2·pn-2+. +a 1·p1+ a0·p0 (1), kde p je celé číslo větší než 1, které se nazývá základ číselné soustavy

Aby pro dané p mohlo být zapsáno libovolné nezáporné celé číslo podle vzorce (1) a navíc jedinečným způsobem musí být číselné hodnoty různých číslic různá celá čísla patřící do segmentu od 0 až p-1.

1) Desetinná soustava p = 10 číslic: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 číslo 5735 = 5·103+7·102+3·101+8·100

2) Ternární systém p = 3 číslice: 0,1,2 číslo 2013 = 2·32+0·31+1·30

Poznámka: dolní index v čísle označuje základ číselné soustavy, ve které je číslo zapsáno. Pro desítkovou číselnou soustavu se index nemusí zapisovat.

Znázornění záporných a zlomkových čísel:

Ve všech polohových soustavách se znaménko „–“ používá k zápisu záporných čísel, stejně jako v desítkové soustavě. Čárkou se odděluje celá část čísla od zlomkové části. Hodnota zápisu a na n-1a n-2a 1a 0, a -1 a -2a m-2 a m-1a m čísla A je určena vzorcem, který je zobecněním vzorce (1):

A = an pn+a n-1 p n-1+a n-2 p n-2++a1 p1+a0 p0+a-1 p-1+a -2 p-2 ++am-2·p –(m–2)+am–1·p–(m–1)+amp–m (2),

75,6 = 7 101+5 100+6 10–1

–2,3145 = –(2·50+3·5–1+1·5–2+4·5–3)

Převod čísel z libovolné číselné soustavy na desítkovou:

Je třeba si uvědomit, že při překladu čísla z jedné číselné soustavy do druhé se kvantitativní hodnota čísla nemění, ale mění se pouze forma zápisu čísla, stejně jako při překladu názvu čísla např. z ruštinu do angličtiny.

Převod čísel z libovolné číselné soustavy na desítkovou se provádí přímým výpočtem pomocí vzorce (1) pro celá čísla a vzorce (2) pro zlomky.

Převod čísel z desítkové číselné soustavy do libovolné číselné soustavy.

Převod čísla z desítkové soustavy do soustavy se základem p znamená nalezení koeficientů ve vzorci (2). Někdy je to snadné udělat jednoduchým výběrem. Řekněme například, že potřebujete převést číslo 23,5 do osmičkové soustavy. Je snadné vidět, že 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·81+7·80+4·8–1 = 27,48. Je jasné, že odpověď není vždy tak jednoznačná. Obecně se používá metoda převodu celé a zlomkové části čísla odděleně.

Pro převod celých čísel se používá následující algoritmus (získaný na základě vzorce (1)):

1. Najděte podíl a zbytek při dělení čísla p. Zbytek bude další číslice ai (j=0,1,2) číselného vstupu v nové číselné soustavě.

2. Pokud je podíl roven nule, pak je překlad čísla dokončen, jinak na podíl aplikujeme bod 1.

Poznámka 1. Číslice ai v číselném zápisu jsou číslovány zprava doleva.

Poznámka 2. Pokud p>10, pak je nutné zavést zápis pro čísla s číselnými hodnotami většími nebo rovnými 10.

Převeďte číslo 165 na septální číselnou soustavu.

165:7 = 23 (zbytek 4) => a0 = 4

23:7 = 3 (zbytek 2) => a1 = 2

3:7 = 0 (zbytek 3) => a2 = 3

Výsledek si zapišme: a2a1a0, tedy 3247.

Po kontrole pomocí vzorce (1) se ujistíme, že překlad je správný:

3247=3·72+2·71+4·70=3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.

Pro převod zlomkových částí čísel se používá algoritmus získaný na základě vzorce (2):

1. Vynásobte zlomkovou část čísla číslem p.

2. Celočíselnou částí výsledku bude další číslice am (m = –1, –2, –3) zápisu čísla do nové číselné soustavy. Pokud je zlomková část výsledku nula, pak je překlad čísla dokončen, jinak na něj aplikujeme krok 1.

Poznámka 1. Číslice am v číselném zápisu jsou uspořádány zleva doprava ve vzestupném pořadí absolutní hodnoty m.

Poznámka 2. Obvykle je počet zlomkových číslic v novém zadání čísla předem omezen. To vám umožní provést přibližný překlad se zadanou přesností. V případě nekonečných zlomků takové omezení zajišťuje konečnost algoritmu.

Převeďte číslo 0,625 na binární číselnou soustavu.

0,625 2 = 1,25 (celé číslo část 1) => a-1 =1

0,25 2 = 0,5 (celé číslo část 0) => a-2 = 0

0,5 2 = 1,00 (celočíselná část 1) => a-3 = 1

Takže 0,62510 = 0,1012

Po kontrole pomocí vzorce (2) se ujistíme, že překlad je správný:

0,1012=1·2-1+0·2-2+1·2-3=1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.

Převeďte číslo 0,165 do kvartérního číselného systému a omezte jej na čtyři kvartérní číslice.

0,165 4 = 0,66 (celé číslo část 0) => a-1=0

0,66 4 = 2,64 (celé číslo část 2) => a-2= 2

0,64 4 = 2,56 (celé číslo 2) => a-3= 2

0,56 4 = 2,24 (celé číslo 2) => a-4= 2

Takže 0,16510" 0,02224

Udělejme zpětný překlad, abychom se ujistili, že absolutní chyba nepřekročí 4–4:

0,02224 = 0,4-1+2·4-2+2·4-3+2·4-4= 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0,1640625

0,1640625–0,165 = 0,00094

Převod čísel z jednoho libovolného systému do jiného

V tomto případě musíte nejprve převést číslo do desítkové soustavy a poté z desítkové soustavy na požadovanou.

Pro převod čísel pro soustavy s více bázemi se používá speciální metoda.

Nechť p a q jsou základy dvou číselných soustav. Tyto soustavy budeme nazývat číselné soustavy s více bázemi, pokud p = qn nebo q = pn, kde n je přirozené číslo. Takže například číselné soustavy se základy 2 a 8 jsou vícenásobné základní číselné soustavy.

Nechť p = qn a vy potřebujete převést číslo z číselné soustavy se základem q do číselné soustavy se základem p. Rozdělme celou a zlomkovou část čísla do skupin n postupně zapsaných číslic vlevo a vpravo od desetinné čárky. Pokud počet číslic v celočíselné části čísla není násobkem n, musíte doleva přidat odpovídající počet nul. Pokud počet číslic ve zlomkové části čísla není násobkem n, pak se vpravo přidávají nuly. Každá taková skupina číslic čísla ve staré číselné soustavě bude odpovídat jedné číslici čísla v nové číselné soustavě.

Převedeme 1100001,1112 do kvartérní číselné soustavy.

Sečtením nul a výběrem dvojic čísel dostaneme 01100001,11102.

Nyní přeložme každou dvojici číslic samostatně pomocí části Překlad čísel z jednoho libovolného systému do druhého.

Takže 1100001,1112 = 01100001,11102 = 1201,324.

Předpokládejme nyní, že je nutné provést převod ze soustavy s větší bází q do soustavy s menší bází p, tj. q = pn. V tomto případě jedna číslice čísla ve staré číselné soustavě odpovídá n číslicím čísla v nové číselné soustavě.

Příklad: Zkontrolujeme předchozí překlad čísla.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

V hexadecimální soustavě jsou číslice s číselnými hodnotami 10,11,12, 13,14,15. K jejich označení použijte prvních šest písmen latinské abecedy A, B, C, D, E, F.

Zde je tabulka čísel od 0 do 16 zapsaná v číselných soustavách se základy 10, 2, 8 a 16.

Číslo v desítkové soustavě čísel 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 16 v osmičkové soustavě 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 20 1 01 01 01 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 V šestnáctkové soustavě 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 K zápisu šestnáctkové soustavy můžete použít i malé číslice.

Příklad: Převeďme číslo 110101001010101010100.112 na hexadecimální číselnou soustavu.

Použijme násobnost základů číselných soustav (16=24). Seskupíme čísla po čtyřech a přidáme požadovaný počet nul zleva a zprava

000110101001010101010100,11002 a kontrolou tabulky dostaneme: 1A9554,C16

Ve kterém číselném systému je nejlepší psát čísla, je otázkou pohodlí a tradice. Z technického hlediska je výhodné používat binární systém v počítači, protože používá pouze dvě číslice 0 a 1 k záznamu čísla, které lze reprezentovat dvěma snadno rozlišitelnými stavy „žádný signál“ a „existuje signál."

Naopak pro člověka je nepohodlné zabývat se binárními čísly kvůli tomu, že jsou delší než čísla desetinná a je v nich mnoho opakujících se číslic. Proto v případě potřeby pracujte se strojovými reprezentacemi čísel, používejte osmičkové nebo hexadecimální číselné soustavy. Základy těchto soustav jsou celočíselné mocniny dvou, a proto se čísla z těchto soustav snadno převádějí na binární a naopak.

Binární číselná soustava. Bit a byte. Segmentace paměti.

Podívejme se, jak se data ukládají do paměti počítače.

Obecně, jak může počítač uložit například slovo „disk“? Hlavním principem je magnetizace a demagnetizace jedné stopy (říkejme tomu tak). Jeden paměťový čip je, zhruba řečeno, obrovské množství stop. Teď to zkusme přijít na kloub. Například: nula bude označena jako 0000 (čtyři nuly), jedna 0001, dvě 0010,

(tj. pravou nahradíme 0 a druhou nastavíme na 1).

Pochopili jste princip? "0" a "1" jsou tzv. bitů. Jeden bit, jak jste si již všimli, může být nula nebo jedna, tj. jedna nebo druhá stopa je demagnetizována nebo zmagnetizována („0“ a „1“ jsou symboly). Pokud se podíváte blíže, všimnete si, že každý další nastavený bit (začínající zprava) zdvojnásobuje číslo: 0001 v našem příkladu = 1; 0010 dva; 0100 čtyři; 1000 osm atd. Jedná se o tzv. binární forma reprezentace dat.

Že. k reprezentaci čísel od 0 do 9 potřebujeme čtyři bity (i když nejsou plně využity. Mohli bychom pokračovat: deset 1010, jedenáct 1011, patnáct 1111).

Takto počítač ukládá data do paměti. K označení znaku (číslice, písmena, čárky, tečky) počítač používá určitý počet bitů. Počítač „rozpozná“ 256 (od 0 do 255) různých znaků podle jejich kódu. To stačí k umístění všech čísel (0 - 9), písmen latinské abecedy (a - z, A - Z), ruštiny (a - z, A - Z) a dalších znaků. Pro reprezentaci znaku s maximálním možným kódem (255) je potřeba 8 bitů. Těchto 8 bitů se nazývá byte. Že. Každý jeden znak má vždy 1 bajt.

Že. slovo "disk" bude zabírat 4 bajty nebo 4*8 = 32 bitů. Jak jste již pochopili, počítač neukládá do paměti písmena samotného slova, ale sekvenci „jedniček“ a „nul“. "Proč tedy na obrazovce vidíme text, a ne "jedničky a nuly" - ptáte se, abych uspokojil vaši zvědavost, trochu předběhnu a řeknu, že všechna ta práce se zobrazením samotné postavy na obrazovce? a ne bity) provádí grafická karta (video adaptér), která je umístěna ve vašem počítači, a pokud by tam nebyla, pak bychom přirozeně neviděli nic, co se děje na naší obrazovce.

V assembleru musí za binárním číslem vždy následovat písmeno "b". To je nutné, aby při sestavování našeho programu mohl assembler rozlišovat mezi desítkovými, šestnáctkovými a binárními čísly. Například: 10 je "deset", 10h je "šestnáct" a 10b je "dvě" v desítkové soustavě.

Že. Registry lze načíst binárními, desítkovými a hexadecimálními čísly.

Například: mov ax,20 mov bh,10100b mov cl,14h

V důsledku toho budou registry AX, BH a CL obsahovat stejné číslo, jen to nahrajeme na různé systémy. Počítač jej uloží v binárním formátu (jako v registru BH).

Pojďme si to tedy shrnout. V počítači jsou všechny informace uloženy v binárním formátu (binární soustava) přibližně v následujícím tvaru: 10101110 10010010 01111010 11100101 (samozřejmě bez mezer. Pro usnadnění jsem bity rozdělil do skupin). Osm bitů je jeden bajt. Jeden znak zabírá jeden bajt, tedy osm bitů. Podle mě nic složitého. Je velmi důležité porozumět tomuto tématu, protože binární systém budeme používat neustále a musíte jej dokonale znát.

Proč jsou potřeba různé polohovací systémy?

Polohové soustavy s různými bázemi se ke studiu vlastností čísel používají už stovky let. Například zápisem celých čísel do různých systémů lze získat znaky dělitelnosti. Zvažování některých dalších problémů v teorii dělitelnosti je také usnadněno použitím nedesítkových polohových systémů.

Tato otázka však zaměstnávala jen relativně malý okruh lidí, především specialisty v oblasti tzv. vyšší aritmetiky – teorie čísel. Ale situace se změnila od vzniku a rozšířeného používání počítačů.

Konstrukce číslicových počítačů úzce souvisí s přijatou číselnou soustavou.

Výpočetní zařízení.

Nejjednodušším digitálním výpočetním zařízením je známé ruské počítadlo. V nich se k vyobrazení čísla používají pletací jehlice s kosticemi. Počet paprsků odpovídá počtu číslic přiřazených k zobrazení čísla. Každá pletací jehla může být v různých stavech, určených počtem snížených kostí. Protože v desítkové soustavě je deset různých číslic, k jejich reprezentaci potřebujete deset různých stavů. K tomu se na každou pletací jehlu navlékne deset kostí.

Ruské počítadlo

Dalším příkladem digitálního počítače je sčítací stroj. Zde se ozubené kolo používá k reprezentaci různých čísel v každé číslici. Obvod kola, ze kterého je toto ozubené kolo vyrobeno, je rozdělen na 10 dílů. Každý díl má ozubení. Rotující kolem své osy se ozubené kolo může zastavit pouze v takových polohách, když je některý z jeho zubů instalován proti oknu v těle sčítacího stroje. Každý zub ozubeného kola má napsáno odpovídající číslo.

Uvažované příklady ukazují, že poziční číselný systém používaný k zaznamenávání čísel klade na konstrukci počítačů své vlastní požadavky: deset kostí na paprsku, deset zubů na ozubeném kole a deset kroků na válečku se vysvětluje skutečností, že číslo je reprezentováno v desítkové číselné soustavě.

TELEVIZE. Sarapulová, I.E. Trofimov

NEPOLOHOVÉ A SMÍŠENÉ
ČÍSELNÉ SOUSTAVY

směrnice 230700.62 „Aplikovaná informatika“ jako směrnice pro samostatnou práci
v oboru "Informační systémy a technologie"

Kemerovo 2012

Recenzenti:

1. Evgenia Viktorovna Prokopenko, kandidátka fyzikálních a matematických věd, docentka katedry aplikovaných informačních technologií.

2. Sokolov Igor Aleksandrovich, kandidát technických věd, docent, vedoucí katedry aplikovaných informačních technologií, předseda výboru pro vzdělávání a odbornou přípravu směru 230700.62 „Aplikovaná informatika“.

Sarapulova Taťána Viktorovna, Trofimov Ivan Evgenievich. Nepoziční a smíšené číselné soustavy: metoda. pokyny pro samostatnou práci v oboru „Informační systémy a technologie“ [elektronický zdroj]: pro studenty bakalářského studijního oboru 230700.62 „Aplikovaná informatika“ / T. V. Sarapulova, I. E. Trofimov. - Elektron. Dan. – Kemerovo: KuzGTU, 2012. – 1 elektron. velkoobchod disk (CD-ROM); zvuk ; barva ; 12 cm – Systém. požadavky: RAM 64 MB; Windows XP/Vista/7; (CD-ROM mechanika). - Víčko. z obrazovky.

Pokyny jsou určeny pro samostatné studium nepozičních a smíšených číselných soustav. Pokyny obsahují teoretický rámec a testové otázky.

Ó Sarapulova T.V., Trofimov I.E.

ÚVOD.. 4

1. NEPOLOHOVÉ ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 5

1.1. Římský číselný systém. 6

1.2. Systém zbytkových tříd (RSS) 6

1.3. Stern-Brocawův číselný systém. 8

2. SMÍŠENÉ ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 9

2.1. Mayský číselný systém. 10

2.2. Faktorový číselný systém. 10

2.3. Fibonacciho číselný systém. jedenáct

Účel této samostatné práce je studium nepozičních a smíšených číselných soustav.

ÚVOD

Jedním z povinných požadavků na specialistu v oboru informačních technologií je znalost zásad práce s čísly. V raných fázích vývoje společnosti lidé téměř neuměli počítat. Rozlišovali mezi soubory dvou a tří objektů; jakákoliv sbírka obsahující větší počet předmětů byla sjednocena do pojmu „mnoho“. Při počítání se předměty obvykle porovnávaly s prsty na rukou a nohou. Jak se civilizace rozvíjela, lidská potřeba počítat se stala nezbytnou. Zpočátku byla přirozená čísla zobrazována pomocí určitého počtu čárek nebo tyčinek, poté se k jejich zobrazení začala používat písmena nebo speciální znaky.

Udělejme čáru mezi číslem a číslem. Číslo je nějaká abstraktní entita k popisu množství. Číslice jsou znaky používané k zápisu čísel. Existují různá čísla, nejběžnější jsou čísla arabská, reprezentovaná znaménky, která známe od nuly (0) do devíti (9); Římské číslice jsou méně časté, někdy je najdeme na ciferníku hodinek nebo v označení století (XIX století).

Takže si připomeňme: číslo – toto je nějaký druh abstraktního měřítka množství, číslo – jedná se o znak (nákres) pro zápis čísla.

Všech mnoho způsobů, jak psát čísla pomocí číslic, lze rozdělit do tří částí:

1. poziční číselné soustavy;

2. smíšené číselné soustavy;

3. nepoziční číselné soustavy.

Bankovky jsou nápadným příkladem smíšeného číselného systému. V současné době se v Rusku používají mince a bankovky následujících nominálních hodnot: 1 kopeck, 5 kopeck, 10 kopeck, 50 kopeck, 1 rubl, 2 rubly, 5 rublů, 10 rublů, 50 rublů, 100 rublů, 500 rublů, 1000 rublů. . a 5000 rublů. Abychom získali určitou částku v rublech, musíme použít určitý počet bankovek různých nominálních hodnot. Předpokládejme, že koupíme vysavač, který stojí 6 379 rublů. K zaplacení potřebujeme šest tisíc rublů, tři sta rublů, jednu padesátrublovou, dvě desítky, jednu pětirublovou a dvě dvourublové. Pokud zapíšeme počet bankovek nebo mincí od 1000 rublů. a končící jednou kopejkou, nahrazující chybějící nominální hodnoty nulami, dostaneme číslo reprezentované ve smíšeném číselném systému; v našem případě – 603121200000.

V nepoziční číselné soustavě velikost čísla nezávisí na poloze číslice v reprezentaci čísla. Pozoruhodným příkladem nepoziční číselné soustavy je římská soustava. Navzdory svému úctyhodnému stáří se tento systém stále používá, i když se obecně nepoužívá.

NEPOLOHOVÉ ČÍSELNÉ SOUSTAVY

V nepozičních číselných soustaváchhodnota, kterou číslice označuje, nezávisí na její pozici v čísle. V tomto případě může systém omezit polohu číslic.

Od starověku lidé široce používali nepoziční číselné soustavy. K počítání zvířat, populace a zásob byla použita různá písmena, piktogramy a další geometrické tvary. Postupem času se nepoziční systémy staly méně populární a v moderním světě najdeme typického představitele nepozičních systémů - římský číselný systém, spíše exotické písmeno než skutečně fungující systém. Důvod opuštění nepozičních číselných soustav byl vznik pozičních systémů, které umožnily používat výrazně menší číslicové abecedy k označení i velmi velkých čísel, a co je důležitější, zajistit jednoduché provádění aritmetických operací s čísly.

Římský číselný systém

Kanonickým příkladem prakticky nepozičního číselného systému je římský systém, který jako čísla používá latinská písmena:

I znamená 1, V znamená 5, X znamená 10, L znamená 50, C znamená 100, D znamená 500, M znamená 1000.

Například II = 1 + 1 = 2, zde symbol I znamená 1 bez ohledu na jeho místo v čísle.

Upozorňujeme, že symbol nuly v této číselné soustavě, stejně jako v jiných nepozičních soustavách, chybí jako zbytečný.

Neexistují žádné spolehlivé informace o původu římských číslic. Číslo V mohlo původně sloužit jako obrázek ruky a číslo X mohlo být tvořeno dvěma pětkami. V římském číslování jsou zřetelně stopy po pětinásobném číselném systému.

Ve skutečnosti, římský systém není zcela nepoziční, protože se od něj odečte menší číslo předcházející většímu, například:

VI = 6, tzn. 5 + 1, zatímco IV = 4, tzn. 5 – 1;

XL = 40, tzn. 50 – 10, zatímco LX = 60, tzn. 50 + 10.

Stejné číslo v římském systému není umístěno více než třikrát za sebou: LXX = 70; LXXX = 80; číslo 90 se píše XC (nikoli LXXXX).

Prvních 12 čísel se píše římskými číslicemi takto: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.

Ostatní čísla se zapisují např. jako: XXVIII = 28; XXXIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Když si položíme otázku, kolik čísel lze zapsat v římském systému, rychle zjistíme, že jejich rozsah sahá od 1 (I) do 3999 (MMMCMXCIX). Tak úzký rozsah čísel vážně omezuje použití systému v moderním životě, kde se počet pohybuje v milionech.

Nyní se římský číselný systém používá k označení výročí, číslování některých stránek knihy (například stránek předmluvy), kapitol v knihách, strof v básních atd.

Související informace.

Při studiu kódování jsem si uvědomil, že číselným soustavám dost dobře nerozumím. Přesto jsem často používal 2-, 8-, 10-, 16-té systémy, převáděl jsem jeden na druhý, ale vše se dělalo „automaticky“. Po přečtení mnoha publikací mě překvapilo, že o takovém základním materiálu neexistuje jediný článek v jednoduchém jazyce. Proto jsem se rozhodl napsat svůj vlastní, ve kterém jsem se snažil přístupně a uspořádaně podat základy číselných soustav.

Úvod

Notový zápis je způsob záznamu (reprezentace) čísel.

Co to znamená? Například před sebou vidíte několik stromů. Vaším úkolem je spočítat je. Chcete-li to provést, můžete ohnout prsty, udělat zářezy na kameni (jeden strom - jeden prst/zářez) nebo spojit 10 stromů s předmětem, například kamenem, a jeden vzorek s tyčí a umístit je na zemi, jak počítáte. V prvním případě je číslo reprezentováno jako řetězec ohnutých prstů nebo zářezů, ve druhém - složení kamenů a tyčinek, kde kameny jsou vlevo a tyče vpravo

Číselné soustavy se dělí na poziční a nepoziční a poziční zase na homogenní a smíšené.

Nepoziční- nejstarší, v něm má každá číslice čísla hodnotu, která nezávisí na její poloze (číslici). To znamená, že pokud máte 5 řádků, pak je číslo také 5, protože každý řádek, bez ohledu na jeho místo v řádku, odpovídá pouze 1 položce.

Polohový systém- význam každé číslice závisí na její pozici (číslici) v čísle. Například 10. číselná soustava, která je nám známá, je poziční. Uvažujme číslo 453. Číslo 4 označuje počet stovek a odpovídá číslu 400, 5 - počet desítek a je podobný hodnotě 50 a 3 - jednotky a hodnotě 3. Jak vidíte, čím větší číslice, tím vyšší hodnota. Konečné číslo lze vyjádřit jako součet 400+50+3=453.

Homogenní systém- pro všechny číslice (pozice) čísla je sada platných znaků (číslic) stejná. Jako příklad si vezměme již zmíněný 10. systém. Při zápisu čísla v homogenní 10. soustavě můžete v každé číslici použít pouze jednu číslici od 0 do 9, je tedy povoleno číslo 450 (1. číslice - 0, 2. - 5, 3. - 4), ale 4F5 nikoliv, protože znak F není součástí množiny čísel 0 až 9.

Smíšený systém- v každé číslici (pozici) čísla se sada platných znaků (číslic) může lišit od sad ostatních číslic. Pozoruhodným příkladem je systém měření času. V kategorii sekund a minut je možných 60 různých symbolů (od „00“ do „59“), v kategorii hodin – 24 různých symbolů (od „00“ do „23“), v kategorii dne – 365 atd.

Nepolohové systémy

Jakmile se lidé naučili počítat, vyvstala potřeba čísla zapisovat. Na začátku bylo všechno jednoduché - zářez nebo čárka na nějaké ploše odpovídaly jednomu předmětu, například jednomu ovoci. Tak se objevila první číselná soustava – jednotka.

Systém čísel jednotek

Číslo v této číselné soustavě je řetězec pomlček (klacíků), jejichž počet se rovná hodnotě daného čísla. Sklizeň 100 datlí se tedy bude rovnat číslu sestávajícímu ze 100 pomlček.
Tento systém má ale zjevné nepříjemnosti – čím větší číslo, tím delší řetězec tyčinek. Při psaní čísla se navíc můžete snadno zmýlit tím, že omylem přidáte špejli navíc nebo naopak nezapíšete.

Pro pohodlí začali lidé seskupovat tyčinky do 3, 5 a 10 kusů. Každá skupina přitom odpovídala konkrétnímu znaku nebo předmětu. Zpočátku se k počítání používaly prsty, takže se první znaky objevily pro skupiny po 5 a 10 kusech (jednotkách). To vše umožnilo vytvořit pohodlnější systémy pro záznam čísel.

Starověký egyptský desítkový systém

Ve starověkém Egyptě se k reprezentaci čísel 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 používaly speciální symboly (čísla). Tady jsou některé z nich:

Proč se tomu říká desítkové? Jak bylo uvedeno výše, lidé začali seskupovat symboly. V Egyptě zvolili seskupení 10, přičemž číslo „1“ zůstalo nezměněno. V tomto případě se číslo 10 nazývá základní desítková číselná soustava a každý symbol je do určité míry reprezentací čísla 10.

Čísla ve staroegyptském číselném systému byla zapsána jako kombinace těchto
znaky, z nichž každý se neopakoval více než devětkrát. Konečná hodnota se rovnala součtu prvků čísla. Stojí za zmínku, že tento způsob získávání hodnoty je charakteristický pro každou nepoziční číselnou soustavu. Příkladem může být číslo 345:

Babylonský sexagezimální systém

Na rozdíl od egyptského systému používal babylonský systém pouze 2 symboly: „rovný“ klín pro označení jednotek a „ležící“ klín pro označení desítek. Chcete-li určit hodnotu čísla, musíte rozdělit obrázek čísla na číslice zprava doleva. Nový výboj začíná vznikem rovného klínu po ležícím. Vezměme si jako příklad číslo 32:

Číslo 60 a všechny jeho mocniny jsou také označeny rovným klínem, jako „1“. Proto byl babylónský číselný systém nazýván sexagesimální.
Babyloňané psali všechna čísla od 1 do 59 v desítkové nepoziční soustavě a velké hodnoty v poziční soustavě se základem 60. Číslo 92:

Záznam čísla byl nejednoznačný, protože tam nebyla žádná číslice označující nulu. Zastoupení čísla 92 by mohlo znamenat nejen 92=60+32, ale také například 3632=3600+32. Pro určení absolutní hodnoty čísla byl zaveden speciální symbol pro označení chybějící šestileté číslice, která odpovídá výskytu čísla 0 v zápisu desetinného čísla:

Nyní by číslo 3632 mělo být zapsáno jako:

Babylonský šestinásobný systém je první číselný systém založený částečně na pozičním principu. Tato číselná soustava se používá dodnes např. při určování času – hodina se skládá z 60 minut, minuta ze 60 sekund.

římský systém

Římský systém se příliš neliší od egyptského. Používá velká latinská písmena I, V, X, L, C, D a M k reprezentaci čísel 1, 5, 10, 50, 100, 500 a 1000. Číslo v římském číselném systému je soubor po sobě jdoucích číslic.

Metody pro určení hodnoty čísla:

1. Hodnota čísla se rovná součtu hodnot jeho číslic. Například číslo 32 v římské číselné soustavě je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. Pokud je vlevo od větší číslice menší, pak se hodnota rovná rozdílu mezi větší a menší číslicí. Zároveň může být levá číslice menší než pravá maximálně o jeden řád: například pouze X(10) se může objevit před L(50) a C(100) mezi „nejnižšími“ , a pouze před D(500) a M(1000) C(100), před V(5) - pouze I(1); číslo 444 v uvažovaném číselném systému bude zapsáno jako CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
3. Hodnota se rovná součtu hodnot skupin a čísel, které se nevejdou do bodů 1 a 2.

Kromě digitálních existují i ​​písmenné (abecední) číselné soustavy, zde jsou některé z nich:
1) slovanský
2) řečtina (jónština)

Poziční číselné soustavy

Jak bylo uvedeno výše, první předpoklady pro vznik pozičního systému vznikly již ve starověkém Babylonu. V Indii měl systém podobu pozičního desítkového číslování pomocí nuly a od Indů si tuto číselnou soustavu vypůjčili Arabové, od kterých ji převzali Evropané. Z nějakého důvodu byl v Evropě tomuto systému přiřazen název „Arab“.

Desetinná číselná soustava

Jedná se o jednu z nejběžnějších číselných soustav. To je to, co používáme, když pojmenujeme cenu produktu a řekneme číslo autobusu. Každá číslice (pozice) může používat pouze jednu číslici z rozsahu od 0 do 9. Základem systému je číslo 10.

Vezměme si například číslo 503. Pokud by toto číslo bylo zapsáno v nepoziční soustavě, pak by jeho hodnota byla 5+0+3 = 8. Máme ale poziční soustavu a to znamená, že každá číslice čísla musí být násobeno základem systému, v tomto případě číslo „10“ umocněné na mocninu rovnající se číslici. Ukazuje se, že hodnota je 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Aby nedošlo k záměně při práci s několika číselnými soustavami současně, je základ označen jako dolní index. Tedy 503 = 503 10.

Kromě desítkové soustavy si zvláštní pozornost zaslouží 2-, 8- a 16. soustava.

Binární číselná soustava

Tento systém se používá především ve výpočetní technice. Proč nepoužili obvyklé 10.? První počítač vytvořil Blaise Pascal, který používal desítkovou soustavu, což se v moderních elektronických strojích ukázalo jako nepohodlné, protože vyžadovalo výrobu zařízení schopných provozu v 10 stavech, což zvýšilo jejich cenu a konečnou velikost stroj. Prvky fungující ve 2. systému tyto nedostatky nemají. Zmíněný systém však vznikl dávno před vynálezem počítačů a má své „kořeny“ v civilizaci Inků, kde se používalo quipus – složité provazové vazby a uzly.

Binární poziční číselný systém má základ 2 a pro zápis čísel používá 2 symboly (číslice): 0 a 1. V každé číslici je povolena pouze jedna číslice – buď 0, nebo 1.

Příkladem je číslo 101. Je podobné číslu 5 v desítkové soustavě čísel. Abyste mohli převést od 2 do 10, musíte vynásobit každou číslici binárního čísla základem „2“ umocněným na mocninu rovnou hodnotě místa. Tedy číslo 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.

No, pro stroje je 2. číselná soustava pohodlnější, ale často vidíme a používáme čísla v 10. soustavě na počítači. Jak potom stroj určí, jaké číslo uživatel zadává? Jak přeloží číslo z jednoho systému do druhého, protože má pouze 2 symboly - 0 a 1?

Aby mohl počítač pracovat s binárními čísly (kódy), musí být někde uloženy. K uložení každé jednotlivé číslice se používá spoušť, což je elektronický obvod. Může být ve 2 stavech, z nichž jeden odpovídá nule, druhý jedné. K zapamatování jednoho čísla slouží registr - skupina spouštěčů, jejichž počet odpovídá počtu číslic v binárním čísle. A sada registrů je RAM. Číslo obsažené v registru je strojové slovo. Aritmetické a logické operace se slovy provádí aritmetická logická jednotka (ALU). Pro zjednodušení přístupu k registrům jsou očíslovány. Číslo se nazývá adresa registru. Pokud například potřebujete sečíst 2 čísla, stačí uvést čísla buněk (registrů), ve kterých se nacházejí, a ne čísla samotná. Adresy se zapisují v osmičkové a šestnáctkové soustavě (o nich bude řeč níže), protože přechod z nich do dvojkové soustavy a zpět je poměrně jednoduchý. Pro převod z 2. na 8. musí být číslo rozděleno do skupin po 3 číslicích zprava doleva a pro přesun na 16. - 4. Není-li ve skupině číslic nejvíce vlevo dostatek číslic, pak se doplní zleva s nulami, kterým se říká vedení. Vezměme si jako příklad číslo 101100 2. V osmičkové soustavě je to 101 100 = 54 8 a v šestnáctkové soustavě je to 0010 1100 = 2C 16. Skvělé, ale proč na obrazovce vidíme desetinná čísla a písmena? Když stisknete klávesu, do počítače se přenese určitá sekvence elektrických impulsů a každý symbol má svou vlastní sekvenci elektrických impulsů (nuly a jedničky). Program ovladače klávesnice a obrazovky přistoupí k tabulce kódů znaků (například Unicode, která umožňuje zakódovat 65536 znaků), určí, kterému znaku odpovídá výsledný kód, a zobrazí jej na obrazovce. Texty a čísla jsou tedy uloženy v paměti počítače v binárním kódu a jsou programově převedeny na obrázky na obrazovce.

Osmičková číselná soustava

8. číselná soustava, stejně jako binární, se často používá v digitální technice. Má základ 8 a k zápisu čísel používá číslice 0 až 7.

Příklad osmičkového čísla: 254. Pro převod do 10. soustavy musí být každá číslice původního čísla vynásobena 8 n, kde n je ciferné číslo. Ukazuje se, že 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.

Hexadecimální číselná soustava

Hexadecimální systém je široce používán v moderních počítačích, používá se například k označení barvy: #FFFFFF - bílá. Daný systém má základ 16 a používá k zápisu tato čísla: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, kde písmena jsou 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Vezměme si jako příklad číslo 4F5 16. Pro převod do osmičkové soustavy nejprve převedeme hexadecimální číslo na binární a poté jej rozdělíme do skupin po 3 číslicích na osmičkové. Chcete-li převést číslo na 2, musíte každou číslici reprezentovat jako 4bitové binární číslo. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Ale ve skupinách 1 a 3 je málo číslic, takže každou vyplňte úvodními nulami: 0100 1111 0101. Nyní musíte výsledné číslo rozdělit do skupin po 3 číslicích zprava doleva: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 Převedeme každou binární skupinu na osmičkovou soustavu, každou číslici vynásobíme 2 n, kde n je číslo číslice: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

Kromě uvažovaných pozičních číselných soustav existují další, například:
1) Trojice
2) Čtvrtohory
3) Duodecimální

Polohové systémy se dělí na homogenní a smíšené.

Homogenní poziční číselné soustavy

Definice uvedená na začátku článku popisuje homogenní systémy zcela plně, takže je zbytečné vyjasňování.

Smíšené číselné soustavy

K již dané definici můžeme přidat větu: „pokud P=Q n (P,Q,n jsou kladná celá čísla, zatímco P a Q jsou základy), pak záznam libovolného čísla ve smíšené (P-Q) číselné soustavě shodně se shoduje se zápisem stejného čísla v číselné soustavě se základem Q.“

Na základě věty můžeme formulovat pravidla pro převod z P-tého do Q-tého systému a naopak:

1. Chcete-li převést z Q-té na P-tou, musíte rozdělit číslo v Q-té soustavě do skupin n číslic, počínaje pravou číslicí, a každou skupinu nahradit jednou číslicí v P-té soustavě. .
2. Pro převod z P-té na Q-tou je nutné převést každou číslici čísla v P-té soustavě na Q-tou a chybějící číslice doplnit úvodními nulami s výjimkou levé tak, aby každé číslo v soustavě se základem Q se skládá z n číslic .

Pozoruhodným příkladem je převod z dvojkové soustavy na osmičkovou. Vezměme si binární číslo 10011110 2, převedeme ho na osmičkovou - rozdělíme ho zprava doleva do skupin po 3 číslicích: 010 011 110, nyní vynásobíme každou číslici 2 n, kde n je číslice, 010 011 110 = (0*2 2 +1 *2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = 236 8 . Ukazuje se, že 10011110 2 = 236 8. Aby byl obraz binárně osmičkového čísla jednoznačný, dělí se na trojice: 236 8 = (10 011 110) 2-8.

Smíšené číselné systémy jsou také například:
1) Faktorový
2) Fibonacci

Převod z jedné číselné soustavy do druhé

Někdy je potřeba převést číslo z jedné číselné soustavy do druhé, proto se podívejme na způsoby převodu mezi různými soustavami.

Převod do desítkové číselné soustavy

V číselné soustavě se základem b existuje číslo a 1 a 2 a 3. Pro převod do 10. soustavy je nutné každou číslici čísla vynásobit b n, kde n je číslo číslice. Tedy (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.

Příklad: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Převod z desítkové číselné soustavy na jiné

Celá část:

1. Celou část desetinného čísla postupně dělíme základem soustavy, do které převádíme, dokud se desetinné číslo nerovná nule.
2. Zbytky získané při dělení jsou číslice požadovaného čísla. Číslo v novém systému se zapisuje od posledního zbytku.

Zlomek:

1. Desetinnou část desetinného čísla vynásobíme základem soustavy, na kterou chceme převést. Oddělte celou část. Pokračujeme v násobení zlomkové části základem nového systému, dokud se nerovná 0.
2. Čísla v novém systému jsou složena z celých částí výsledků násobení v pořadí odpovídajícím jejich výrobě.

Příklad: převeďte 15 10 na osmičkové:
15\8 = 1, zbytek 7
1\8 = 0, zbytek 1

Po sepsání všech zbytků zdola nahoru dostaneme konečné číslo 17. Tedy 15 10 = 17 8.

Převod z dvojkové soustavy na osmičkovou a šestnáctkovou

Chcete-li převést na osmičkové číslo, rozdělíme binární číslo do skupin po 3 číslicích zprava doleva a chybějící krajní číslice doplníme úvodními nulami. Dále transformujeme každou skupinu postupným násobením číslic 2n, kde n je číslo číslice.

Vezměme si jako příklad číslo 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

Pro převod do šestnáctkové soustavy rozdělíme binární číslo do skupin po 4 číslicích zprava doleva, pak obdobně jako při převodu z 2. na 8. místo.

Převod z osmičkové a šestnáctkové soustavy na binární

Převod z osmičkové na binární - každou číslici osmičkového čísla převedeme na binární 3místné číslo dělením 2 (více informací o dělení viz výše odstavec „Převod z desítkové soustavy čísel na ostatní“), vyplňte chybějící krajní číslice s úvodními nulami.

Zvažte například číslo 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

Překlad z 16. na 2. - každou číslici hexadecimálního čísla převedeme na binární 4místné číslo dělením 2, přičemž chybějící vnější číslice doplníme úvodními nulami.

Převod zlomkové části libovolné číselné soustavy na desítkovou

Převod se provádí stejným způsobem jako u celých částí, s tím rozdílem, že číslice čísla se násobí základem na mocninu „-n“, kde n začíná od 1.

Příklad: 101 011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10

Převod zlomkové části binárního čísla na 8. a 16

Překlad zlomkové části se provádí stejně jako u celých částí čísla s jedinou výjimkou, že rozdělení do skupin po 3 a 4 číslicích jde vpravo od desetinné čárky, chybějící číslice jsou doplněny o nuly vpravo.

Příklad: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8

Převod zlomkové části desítkové soustavy na jakoukoli jinou

Chcete-li převést zlomkovou část čísla na jiné číselné soustavy, musíte celou část otočit na nulu a výsledné číslo začít násobit základem soustavy, na kterou chcete převést. Pokud se v důsledku násobení objeví znovu celé části, je třeba je po prvním zapamatování (zapsání) hodnoty výsledné celé části znovu vynulovat. Operace končí, když je zlomková část zcela nulová.

Například převedeme 10,625 10 na binární:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapsáním všech zbytků odshora dolů dostaneme 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2

Nepoziční číselné soustavy

Lidé se naučili počítat už dávno. Následně vyvstala potřeba evidovat čísla. Počet předmětů byl znázorněn nakreslením čárek nebo zářezů na nějakém tvrdém povrchu, aby si dva lidé mohli přesně uložit nějaké číselné informace, vzali dřevěný štítek, udělali na něm požadovaný počet zářezů a štítek pak rozpůlili. Každý si vzal svou druhou polovinu a nechal si ji. Tato technika nám umožnila vyhnout se kontroverzním situacím. Archeologové takové záznamy našli při vykopávkách. Pocházejí z 10-11 tisíciletí před naším letopočtem.
Vědci tento systém nazvali zápisem čísel jednotka (unární), protože libovolné číslo v něm je tvořeno opakováním jednoho znaku symbolizujícího jedničku.

Později se tyto odznaky začaly spojovat do skupin po 3, 5 a 10 hůlkách. Proto vznikly pohodlnější číselné soustavy.

Kolem třetího tisíciletí př. n. l. přišli Egypťané s vlastním číselným systémem, ve kterém se k označení klíčových čísel používaly speciální ikony – hieroglyfy. Každý takový hieroglyf se může opakovat maximálně 9krát. Tato číselná soustava se nazývá Starověký egyptský desítkový nepoziční číselný systém

Příkladem nepoziční číselné soustavy, která přetrvala dodnes, je číselná soustava používaná před více než dvěma a půl tisíci lety ve starém Římě. To se nazývářímský číselný systém.

Vychází ze znaků I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

Římské číslice se používají velmi dlouho, dnes se používají především k pojmenování významných dat, svazků, oddílů a kapitol v knihách.

K zápisu čísel používali Římané nejen sčítání, ale i odčítání.
Pravidla pro sestavování čísel v římské číselné soustavě:

1. Několik stejných čísel v řadě se sečte (skupina prvního typu).
2. Pokud je nalevo od větší číslice menší, odečte se hodnota menší číslice od hodnoty větší (skupina druhého typu).
3. Hodnoty skupin a čísel nezahrnutých ve skupinách prvního a druhého typu se sečtou.

Ve starověku se v Rusku hojně používaly číselné soustavy připomínající římské. Byli povoláni hold. Výběrčí daní s jejich pomocí vyplňovali potvrzení o zaplacení daně (yasak) a zapisovali do daňového sešitu.

"Ruská kniha daní"

Nepoziční číselné systémy mají řadu významných nevýhod:

1. Neustále je potřeba zavádět nové symboly pro záznam velkých čísel.
2. Je nemožné reprezentovat zlomková a záporná čísla.
3. Je obtížné provádět aritmetické operace, protože neexistují žádné algoritmy pro jejich provádění. Zejména všechny národy spolu s číselnými soustavami měly metody počítání prstů a Řekové měli desku na počítání s počítadlem – něco jako naše počítadlo.

Ale stále používáme prvky nepoziční číselné soustavy v běžné řeči, konkrétně říkáme sto, ne deset desítek, tisíc, milion, miliarda, bilion.

NEPOLOHOVÉ ČÍSELNÉ SOUSTAVY

Nepoziční - abeceda, jejíž abeceda obsahuje neomezený počet znaků a kvantitativní ekvivalent libovolného čísla je konstantní a závisí pouze na jeho stylu. Na pozici číslic v čísle nezáleží. Nepoziční soustavy jsou budovány na principu aditivity (Add - sum) - kvantitativní ekvivalent čísla je definován jako součet číslic.

Nepoziční číselná soustava je číselná soustava, ve které kvantitativní ekvivalent každé číslice nezávisí na její pozici (místu, pozici) v číselném kódu.

Nepoziční číselné soustavy vznikly dříve než poziční.

V těchto číselných soustavách je hodnota (velikost) čísla definována jako součet nebo rozdíl číslic v čísle.

Nepoziční číselné soustavy mají řadu nevýhod:

• - pro záznam velkých čísel musíte zadat nová čísla;
• - není možné psát zlomková a záporná čísla;
• - obtížně proveditelné aritmetické operace.

Existuje mnoho typů N.S.S. například: unární, staroegyptské, abecední, řecké, římské, babylonské.

Podívejme se na některé z nich.

ŘÍMSKÝ PSACÍ SYSTÉM

Staří Římané používali číslování, které dodnes zůstalo pod názvem „římské číslování“. Používáme ho k označení výročí, k číslování určitých stránek knihy (například stránek předmluvy), kapitol v knihách, strof v básních atd. V pozdější podobě římské číslice vypadají takto:

I = 1; V=5; X = 10; L = 50; C=100; D = 500; M=1000.

Dříve měly trochu jiný tvar. Číslo 1000 bylo tedy reprezentováno znaménkem (|) a 500 znaménkem |).

Neexistují žádné spolehlivé informace o původu římských číslic. Číslo V mohlo původně sloužit jako obrázek ruky a číslo X mohlo být tvořeno dvěma pětkami. Stejně tak znak za 1000 by mohl být složen ze zdvojnásobení znaku za 500 (nebo naopak).

V římském číslování jsou jasně patrné stopy pětinásobného číselného systému. V jazyce Římanů (lat.) nejsou žádné stopy po pětičlenném systému. To znamená, že tato čísla si Římané vypůjčili od jiných lidí (velmi pravděpodobně od Etrusků).

Všechna celá čísla (do 5000) se zapisují opakováním výše uvedených čísel. Současně, pokud je větší číslo před menším, pak se sčítají, ale pokud je menší před větším (v tomto případě nelze opakovat), pak se menší odčítá z většího1). Například VI=6, tzn. 5+1, IV=4, tzn. 5-1, XL=40, tj. 50-10, LX=60, tzn. 50+10. Stejné číslo se umístí nejvýše třikrát za sebou: LXX=70; LXXX=80; číslo 90 se píše XC (nikoli LXXXX).

Prvních 12 čísel je zapsáno římskými číslicemi takto:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

XXVIII=28; ХХХ1Х=39; CCCXCVII=397; MDCCCXVIII=1818.

Provádění aritmetických operací na víceciferných číslech v tomto zápisu je velmi obtížné. Přesto římské číslování převládalo v Itálii až do 13. století a v dalších západoevropských zemích až do 16. století.

Římské číslice. Kanonický příklad téměř nepozičního číselného systému je římský, který používá latinská písmena jako čísla:

stojím za 1,

Například II = 1 + 1 = 2. Symbol I zde znamená 1 bez ohledu na jeho místo v čísle.

Ve skutečnosti římský systém není zcela nepoziční, protože se od něj odečítá menší číslice předcházející větší, například: IV = 4, zatímco: VI = 6

římské číslo:

• 100 C
• 500D
• 1000 mil

Chcete-li si v paměti opravit písmenná označení čísel v sestupném pořadí, existuje mnemotechnické pravidlo:

číselná soustava unární římská

Dáváme Juicy Lemons, Všem Ix stačí.

Podle toho M, D, C, L, X, V, I.

Příklady. římské číslo:

• 8 VIII
• 31 XXXI
• 46 XLVI
• 99XIX
• 666 DCLXVI
• 888 DCCCLXXXVIII
• 1668 MDCLXVIII
• 1989 MCMLXXXIX
• MMIX 2009
• 3999MMMCMXCIX

Chcete-li správně psát velká čísla římskými číslicemi, musíte nejprve napsat počet tisíců, poté stovek, pak desítek a nakonec jednotek.

Příklad: číslo 1988. Tisíc M, devět set CM, osmdesát LXXX, osm VIII. Pojďme si je společně zapsat: MCMLXXXVIII.

Dost často, aby se zvýraznila čísla v textu, byla přes ně nakreslena čára: LXIV. Někdy byla nakreslena čára jak nahoře, tak dole: XXXII - konkrétně takto je obvyklé zvýrazňovat římské číslice v ruském ručně psaném textu (toto se při sazbě nepoužívá kvůli technické složitosti). U jiných autorů by převis mohl indikovat zvýšení hodnoty obrázku 1000krát: VM = 6000.

Existuje "zkratka" pro psaní velkých čísel, jako je 1999. Nedoporučuje se, ale někdy se používá pro zjednodušení. Rozdíl je v tom, že pro zmenšení číslice lze libovolnou číslici zapsat nalevo od ní:

• - 999. Tisíc M, odečteme 1 (I), dostaneme 999 (IM) místo CMXCIX. Důsledek: 1999 - MIM místo MCMXCIX
• - 95. Sto C, odečteme 5 (V), dostaneme 95 (VC) místo XCV
• - 1950: tisíc M, odečteme 50 (L), dostaneme 950 (LM). Důsledek: 1950 - MLM místo MCML.

Teprve v 19. století se číslice „čtyřka“ zapisovala jako „IV“ dříve, nejčastěji se používala číslice „IIII“. Zápis „IV“ se však již nachází v dokumentech rukopisu Forme of Cury z roku 1390. Ciferníky hodinek tradičně používají ve většině případů „IIII“ místo „IV“, hlavně z estetických důvodů: tento pravopis poskytuje vizuální symetrii s číslicemi „VIII“ na opačné straně a obrácené „IV“ je hůře čitelné než "III". Aplikace.

V ruštině se římské číslice používají v následujících případech:

• - číslo století nebo tisíciletí: XIX století, II tisíciletí před naším letopočtem. E.;
• - pořadové číslo panovníka: Karel V., Kateřina II.;
• - číslo svazku ve vícesvazkové knize (někdy - čísla částí knihy, oddílů nebo kapitol);
• - v některých publikacích - čísla listů s předmluvou ke knize, aby se při změně předmluvy neopravovaly odkazy v hlavním textu;
• - označení ciferníků hodinek „starožitné“;
• - další důležité události nebo položky seznamu, například: V postulát Euklida, 2. světová válka, XXII. sjezd KSSS atd.

V jiných jazycích může mít rozsah použití římských číslic specifické rysy, například v západních zemích se někdy letopočet píše římskými číslicemi;

V římském systému existují dvě pravidla pro psaní čísel:

• -1- každý menší znak umístěný vlevo od většího se od něj odečte;
• -2- každý menší znak umístěný vpravo od většího se k němu přidá.

Systém římských čísel se pro svou nepohodlnost a velkou složitost v současnosti používá tam, kde je to opravdu vhodné: v literatuře (číslování kapitol), při navrhování dokumentů (série pasů, cenných papírů atd.), pro dekorativní účely na číselníku hodinek , v řadě dalších případů.